Plán na 8. března 2024
Odvodíme vzorce pro derivace cyklometrických funkcí arcsin, arccotg, připomeneme větu o derivaci inverzní funkce.
Vrátíme se k odvození součtových vzorců na jednotkové kružnici, při výkladu si pomůžeme vlastnostmi o průmětu geometrického vektoru. Promítneme prezentaci na trojí způsoby definice goniometrických funkcí (trigonometrická a jednotková kružnice bude opakování, nová bude axiomatická).
Definujeme axiomaticky exponenciální funkci. Z axiomů odvodíme vzorec pro derivaci a vlastnosti (nezápornost, kladnost, monotonii, limity v nekonečnech, obor hodnot). Odvodíme Taylorův polynom exponenciální funkce v nule.
Pro výpočet limit: Zformulujeme L'Hospitalovo pravidlo, spočítáme příklady; Vyložíme substituci v limitě, ukážeme souvislost s limitou složené funkce, spočítáme příklad.

Plán pro jednotlivé týdny zde.

Odpřednášeno dříve
Goniometrické funkce
Definice goniometrických funkcí: trigonometrická, na jednotkové kružnici, axiomatická , prezentace.
Odvození součtových vzorců pro sinus a kosinus: trigonometrická, na jednotkové kružnici (nechci, abyste se odvození na jednotkové kružnici učili zpaměti, ale všem krokům byste měli rozumět) , prezentace.
Odvození hodnoty limity sin(x)/x v nule pomocí věty o třech limitách. Jak se tato limita projeví na grafu funkce sinus. Jak se limita tg(x)/x v nule projeví na grafu funkce tangens.
Odvození hodnot limit (1-cos(x))/x, (1-cos(x))/x^2 v nule, jak se tyto limity projeví na grafu funkce kosinus.
Odvození vzorců pro derivaci funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens.
Grafy a vlastnosti funkcí sin(1/x), x sin(1/x), x^2 sin(1/x).

Cyklometrické funkce
Definice cyklometrických funkcí (arcsin, arccos, arctg, arccotg), na str. 145-147 definice, grafy, odvození derivací.
Použití cyklometrických funkcí k řešení rovnic.
Limity cyklometrických funkcí, souvislost se supremem a infimem.


Věty o limitách
Věta o třech funkcích (též známá jako věta o sevřené funkci či jako policejní věta), formulace, důkaz. Příklady: limita sin(x)/x v nule a v nekonečnu. Limity x sin(1/x), x^2 sin(1/x) v nule, derivace funkce x^2 sin(1/x) v nule (po rozšíření do nuly).
Věta o limitě složené funkce: případ jednostranných limit monotonních funkcí. Použití na příkladech, důkaz nakreslením grafů vnitřní a vnější funkce.

Taylorův polynom
Definice Taylorova polynomu stupně n funkce f v bodě a. Taylorovy polynomy funkcí sinus a kosinus v nule.