Plán na 5. dubna 2024
Zformulujeme a dokážeme limitní srovnávací kritérium.
Zformulujeme podílové a limitní podílové kritérium s hlavní myšlenkou důkazu, uvedeme příklady.
Definujeme absolutně konvergentní řady, uvedeme příklady, vysvětlíme použití kritérií pro řady s nezápornými členy.
Ukážeme, že z absolutní konvergence řady plyne konvergence řady. Zopakujeme přitom trojúhelníkovou nerovnost a Cauchyovské posloupnosti.
Ukážeme konvergenci řady s členy (-1)^k/k (tzv. alternující řada), zformulujeme Leibnizovo kritérium konvergence. Na této řadě budeme demonstrovat, co se může stát se součtem neabsolutně konvergentní řady při přerovnání pořadí jejích členů. Zformulujeme větu: Pro absolutně konvergentní řadu se součet po přerovnání pořadí jejích členů nezmění .

Plán pro jednotlivé týdny zde.

Odpřednášeno dříve
Goniometrické funkce
Definice goniometrických funkcí: trigonometrická, na jednotkové kružnici, axiomatická , prezentace.
Odvození součtových vzorců pro sinus a kosinus: trigonometrická, na jednotkové kružnici (nechci, abyste se odvození na jednotkové kružnici učili zpaměti, ale všem krokům byste měli rozumět) , prezentace o průmětu geometrických vektorů, letošní prezentace o grafickém odvození součtových vzorců pro kosinus, loňská prezentace o součtových vzorcích početně i graficky.
Odvození hodnoty limity sin(x)/x v nule pomocí věty o třech limitách. Jak se tato limita projeví na grafu funkce sinus. Jak se limita tg(x)/x v nule projeví na grafu funkce tangens.
Odvození hodnot limit (1-cos(x))/x, (1-cos(x))/x^2 v nule, jak se tyto limity projeví na grafu funkce kosinus.
Odvození vzorců pro derivaci funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens.
Grafy a vlastnosti funkcí sin(1/x), x sin(1/x), x^2 sin(1/x).

Cyklometrické funkce
Definice cyklometrických funkcí (arcsin, arccos, arctg, arccotg), na str. 145-147 definice, grafy, odvození derivací.
Použití cyklometrických funkcí k řešení rovnic.
Limity cyklometrických funkcí, souvislost se supremem a infimem.
Odvození vzorců pro derivace cyklometrických funkcí.

Exponenciální a logaritmická funkce
Axiomatická definice exponenciální funkce exp. Vlastnosti exponenciální funkce (derivace, nezápornost, kladnost, monotonii, limity v nekonečnech, obor hodnot). Taylorův polynom exponenciální funkce v nule.
Definice logaritmu jako funkce inverzní k exponenciále, vlastnosti, derivace.
Exponenciální funkce s obecným základem.

Videa studentů: Studentka si povídá s maminkou o exponenciálním růstu video, prezentace. Skauti překládají toaletní papír -- kolikrát se jim to povede? video (zaujala mě úvaha o soutěživosti v závěru videa).

Věty o limitách
Věta o třech funkcích (též známá jako věta o sevřené funkci či jako policejní věta), formulace, důkaz. Příklady: limita sin(x)/x v nule a v nekonečnu. Limity x sin(1/x), x^2 sin(1/x) v nule, derivace funkce x^2 sin(1/x) v nule (po rozšíření do nuly).
Věta o limitě složené funkce: případ jednostranných limit monotonních funkcí. Použití na příkladech, důkaz nakreslením grafů vnitřní a vnější funkce.
L'Hospitalovo pravidlo -- formulace, předpoklady, použití na příkladech.
Substituce v limitě, souvislost s limitou složené funkce.

Taylorův polynom
Definice Taylorova polynomu stupně n funkce f v bodě a. Taylorovy polynomy funkcí sinus a kosinus v nule.

Řady (nekonečné číselné)
Definice a základní pojmy (členy, částečné součty, součet, konvergence).
Geometrická řada, odvození částečných součtů a součtu. Periodické desetinné rozvoje a geometrická řada. Odvození vzorce pro konečnou a nekonečnou geometrickou řadu. Použití vzorce pro součet nekonečné geometrické řady: výpočet intenzity světla po násobném odrazu.
Nutná podmínku konvergence řady i s důkazem.
Řady s nezápornými členy: existence součtu (i s důkazem), srovnávací kritérium (i s důkazem), limitní srovnávací kritérium. Součet řady 1/1x2 + 1/2x3 + ... + 1/(k(k+1)) + .... Harmonická řada a její součet i s odvozením. Konvergence/divergence řady s členy 1/k^a.