Program poslední přednášky:
Integrální kritérium konvergence řad, konvergence řady s n-tým členem 1/n^a pro a > 1.
Neabsolutně konvergentní řada 1-1/2+1/3-1/4+..., důkaz její konvergence (Leibnizovo kritérium), její přerovnání a vliv na součet.
Důkaz konvergence absolutně konvergentní řady.
Bez důkazu věta o přerovnání absolutně konvergentní řady.
Eulerovo číslo jako součet řady (Taylorovy řady exponenciální funkce).

Studijní opory
[MS-I] Text o výpočtu integrálů.
[MS] Můj učební text k přednášce. Tohoto semestru se týkají kapitoly 10.2. -- 10.5. o funkcích, 13 o řadách, 14 o integrálech. Najdete tam i látku, kterou jsem v minulosti přednášela, ale dnes už ne (například nerovnost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem, podrobnou kapitolu o posloupnostech).
Na sdíleném disku jsou fotky tabulí z tohoto semestru (plán přednášek pro některé týdny zde).
Program přednášek a cvičení z roku 2020-21 z doby online výuky. Obsahuje skeny k přednáškám i videa.

Goniometrické funkce
Definice goniometrických funkcí: trigonometrická, na jednotkové kružnici, axiomatická , prezentace.
Odvození součtových vzorců pro sinus a kosinus: trigonometrická, na jednotkové kružnici (nechci, abyste se odvození na jednotkové kružnici učili zpaměti, ale všem krokům byste měli rozumět) , prezentace o průmětu geometrických vektorů, letošní prezentace o grafickém odvození součtových vzorců pro kosinus, loňská prezentace o součtových vzorcích početně i graficky.
Odvození hodnoty limity sin(x)/x v nule pomocí věty o třech limitách. Jak se tato limita projeví na grafu funkce sinus. Jak se limita tg(x)/x v nule projeví na grafu funkce tangens.
Odvození hodnot limit (1-cos(x))/x, (1-cos(x))/x^2 v nule, jak se tyto limity projeví na grafu funkce kosinus.
Odvození vzorců pro derivaci funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens.
Grafy a vlastnosti funkcí sin(1/x), x sin(1/x), x^2 sin(1/x).

Cyklometrické funkce
Definice cyklometrických funkcí (arcsin, arccos, arctg, arccotg), na str. 145-147 definice, grafy, odvození derivací.
Použití cyklometrických funkcí k řešení rovnic.
Limity cyklometrických funkcí, souvislost se supremem a infimem.
Odvození vzorců pro derivace cyklometrických funkcí.

Exponenciální a logaritmická funkce
Axiomatická definice exponenciální funkce exp. Vlastnosti exponenciální funkce (derivace, nezápornost, kladnost, monotonii, limity v nekonečnech, obor hodnot). Taylorův polynom exponenciální funkce v nule.
Definice logaritmu jako funkce inverzní k exponenciále, vlastnosti, derivace.
Exponenciální funkce s obecným základem, její definice pomocí funkcí exp, log.

Videa studentů: Studentka si povídá s maminkou o exponenciálním růstu video, prezentace. Skauti překládají toaletní papír -- kolikrát se jim to povede? video (zaujala mě úvaha o soutěživosti v závěru videa).

Věty o limitách
Věta o třech funkcích (též známá jako věta o sevřené funkci či jako policejní věta), formulace, důkaz. Příklady: limita sin(x)/x v nule a v nekonečnu. Limity x sin(1/x), x^2 sin(1/x) v nule, derivace funkce x^2 sin(1/x) v nule (po rozšíření do nuly).
Věta o limitě složené funkce: případ jednostranných limit monotonních funkcí. Použití na příkladech, důkaz nakreslením grafů vnitřní a vnější funkce.
L'Hospitalovo pravidlo -- formulace, předpoklady, použití na příkladech.

Taylorův polynom
Definice Taylorova polynomu stupně n funkce f v bodě a. Taylorovy polynomy funkcí sinus, kosinus a exponenciály v nule.

Řady (nekonečné číselné)
Definice a základní pojmy (členy, částečné součty, součet, konvergence).
Geometrická řada, odvození částečných součtů a součtu. Periodické desetinné rozvoje a geometrická řada. Odvození vzorce pro konečnou a nekonečnou geometrickou řadu. Použití vzorce pro součet nekonečné geometrické řady: výpočet intenzity světla po násobném odrazu.
Nutná podmínku konvergence řady i s důkazem.
Řady s nezápornými členy: existence součtu (i s důkazem), srovnávací kritérium (i s důkazem), limitní srovnávací kritérium (i s důkazem), limitní podílové kritérium (bez důkazu, nestihli jsme ho udělat, ale budu chtít, abyste uměli vysvětlit, jak kritérium funguje pro geometrickou řadu).
Součet řady 1/1x2 + 1/2x3 + ... + 1/(k(k+1)) + .... Harmonická řada a její součet i s odvozením. Konvergence/divergence řady s členy 1/k^a.
Absolutní konvergence řad, použití kritérií pro řady s nezápornými členy. Věta o konvergenci absolutně konvergentní řady (důkaz na poslední přednášce). Neabsolutně konvergentní řada, příklad: řady se členy (-1)^k/k (konvergenci ukážeme na poslední přednášce, zformulujeme leibnizovo kritérium).).
Dále na poslední přednášce: Přerovnání řady, vliv na konvergenci a součet, souvislost s absolutní konvergencí řady.

Integrály -- toto jsou zásadní pojmy a tvrzení:
Definice Riemannova integrálu jako obsahu obrazce pod grafem. Riemannův integrál s proměnnou horní mezí a jeho derivace. Odtud plynoucí vztah mezi Riemannovým a Newtonovým integrálem. Aplikace integrálů: dráha rovnoměrně zrychleného pohybu, objemy těles, délka křivky.

Riemannův integrál
Riemannovy integrální součty, dolní a horní Riemannův integrál, definice Riemannova integrálu na uzavřeném omezeném intervalu. Definice riemannovsky integrovatelné funkce, příklad funkce, která není riemannovsky integrovatelná (Dirichletova funkce), její dolní a horní Riemannův integrál. Věta o Riemannovské integrovatelnosti spojité funkce i s důkazem (budou mně stačit hlavní myšlenky). Integrál s proměnnou horní mezí, věta o jeho derivaci (pro integrál ze spojité funkce; hodně důležitá věta, budu chtít alespoň hlavní myšlenky důkazu).
Vlastnosti Riemannova integrálu: pozitivita a monotonie vzhledem k integrované funkci, linearita vzhledem k integrované funkci, aditivita vzhledem k integračnímu oboru, integrál z konstantní funkce.

Primitivní funkce
Definice funkce primitivní na otevřeném intervalu. Věta o existenci primitivní funkce ke spojité funkci i s důkazem (neaspirujete-li na hodnocení výborně, stačí hlavní myšlenky důkazu). Nejednoznačnost primitivní funkce. Věta o jednoznačnosti až na konstantu na intervalu i s důkazem. Množina všech primitivních funkcí k funkci f(x) = 1/x na jejím definičním oboru.

Newtonův integrál
Definice, vlastnosti (stejné jako u Riemannova integrálu). Newton-Leibnizova věta.

Metody výpočtu primitivních funkcí, Newtonova integrálu
Metoda per partes. Metoda substituce pro určitý i neurčitý integrál. Integrál racionální funkce. Odvození a použití rekurentních formulí pro integrál sin^n(x). Výpočet integrálu z funkcí sin^2(x), cos^2(x) několika způsoby (převod na kosinus dvojnásobného argumentu, odvození rovnice metodou per partes, použití symetrie na určitý integrál se speciálními mezemi).

Aplikace integrálů
Geometrické odvození dráhy rovnoměrně zrychleného pohybu.
Výpočet obsahu, pro vybrané obrazce i objemu (půllitr, ve kterém vidíte polovinu dna, zobecněný kužel, rotačně symetrické těleso).
Integrální kritérium konvergence řad.