Program přednášky kolegy Veselého v roce 2014/15: říjen, listopad, prosinec, leden. Vzorová písemka, písemka.

Vzorová písemka. Je skoro definitivní, vyhrazuji si právo udělat ještě malé úpravy.

Z následujícího programu bych ráda probrala všechna témata, u kterých je (u). Pokud budete chtít lepší známku, tak bych chtěla, abyste zvládli i některé z dalších témat. Výběr tématu je na vás.
Povídání o tom, proč vznikla komplexní čísla a k čemu se hodí.
(su) Způsoby zavedení komplexních čísel. Z textu sepsaného studentkami jsou povinné první dvě definice.
(su) Absolutní hodnota komplexního čísla, číslo komplexně sdružené, vlastnosti -- některé z nich odpovídají příkladům 1 na písemku, více zde.
(su) Goniometrický tvar komplexního čísla, Moivreova věta, řešení rovnic s n-tou mocninou (komplexní odmocnina jako nejednoznačná funkce). Příklady 2, 3 v písemce.
(s) Lineární funkce komplexní proměnné a podobné zobrazení. Geometrický význam operací s komplexními čísly. Příklady 4 až 7 z písemky. Tuto část jsem do přednášky zavedla mimo sylabus pro její názornost a propojení s látkou základní a střední školy. Literatura: můj text, další text.
(su) Rozklad polynomu s reálnými koeficienty na polynomy nejvýše druhého stupně. Mělo by být opakování, probírali jste v algebře. V minulosti jsem nepřednášela, letos chci zařadit. Odpřednáším jeden z důkazů základní věty algebry (zopakujeme přitom některé pojmy funkce dvou proměnných), ostatní látku probereme formou referátů studentů.
(n) Exponenciální tvar komplexního čísla, použití ke sčítání řad (sečteme řadu sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+...+sin(nx) a obdobnou pro kosinus). Exponenciální tvar určitě probereme ve tvaru Eulerovy formule při zavádění elementárních funkcí v komplexním oboru. Sčítání řad mně přijde zajímavé, ale v minulosti jsem to nepřednášela.
(n) Rovnice přímky a kružnice v komplexní rovině (příklad 8 z písemky). Kruhová inverze, její vlastnosti, její popis v komplexních souřadnicích, použití na řešení Apolloniových úloh. Dvojpoměr bodů, jeho geometrický význam. Dvojpoměr bodů ležících na zobecněné kružnici. Kruhová inverze a Apolloniovy úlohy jsou také mimo sylabus a přednášela jsem je z podobných důvodů jako lineární funkce.
(ku) Derivace funkce komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky (příklad 9 v písemce). Holomorfní funkce, harmonické funkce.
(ku -- opakování, nemusíme probrat podrobně) Posloupnosti a řady funkcí, stejnoměrná konvergence, nespojitý součet řady spojitých funkcí, derivace řady člen po členu, mocninné řady -- poslední čtyři týdny AN3 před dvěma lety a požadavky z roku předchozího. Příklad 10 v písemce.
(ku) Elementární funkce v komplexním oboru, definice pomocí mocninných řad (příklad 11 v písemce).
(k) Křivkový integrál, Cauchyova věta, reziduová věta, použití na výpočet integrálů reálné proměnné. Do přednášky pro studenty učitelství jsem v minulosti nezařadila, letos bych ráda alespoň stručně probrala. (Podrobně jsem probírala s Renatou v loňském roce v přednášce s hodinovou dotací 4+2, naposled, v nové akreditaci už není).
(ku -- aspoň stručně) Porovnání reálného a komplexního oboru: rovnost funkce a součtu její Taylorovy řady v reálném a komplexním oboru; funkce mající první derivace a nemající vyšší derivace. Taylorova řada součtu mocninné řady.
(k) Věta 5.9.8 z textu kolegy Veselého -- souvisí s předchozím tématem.
(ku -- alespoň stručně) Věta o jednoznačnosti, "přenesení" vzorců z reálného do komplexního oboru (bude nutné se zmínit o kořenech mocninných řad a o tom, co je souvislá množina).
(probráno mimo plánovaný program, souvisí s tématem Porovnání reálného a komplexního oboru) Analytické funkce a analytické rozšíření, vysvětlení na součtu geometrické řady a na funkci, kterou jsme probírali v referátu o Riemannově hypotéze. Čím se liší v reálném a komplexním oboru.