Vzorová písemka.

Pomůcky povolené k písemce: psací potřeby, vlastnoručně psaný tahák formátu nejvýše A4, jednostranně psaný.

Na úspěšné zvládnutí písemné části je třeba alespoň tři a půl příkladu z pěti. Přitom některé příklady budou mít dvě varianty, obtížnější varianta bude označena hvězdičkou a její zvládnutí se počítá jako jeden a půl příkladu. Stačí vám tedy například dva příklady, u nichž spočítáte hvězdičkovou variantu a půl příkladu bez hvězdičky.


Témata k ústní zkoušce:

Způsoby zavedení komplexních čísel. Z textu sepsaného studentkami jsou povinné první dvě definice.

Absolutní hodnota komplexního čísla, číslo komplexně sdružené, vlastnosti, více zde.

Goniometrický tvar komplexního čísla, Moivreova věta, řešení rovnic s n-tou mocninou (komplexní odmocnina jako nejednoznačná funkce).

Lineární funkce komplexní proměnné a podobné zobrazení. Geometrický význam operací s komplexními čísly, můj text, další text.

Rozklad polynomu s reálnými koeficienty na polynomy nejvýše druhého stupně. Včetně dvou důkazů základní věty algebry.

Exponenciální tvar komplexního čísla.

Derivace funkce komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky. Holomorfní funkce, harmonické funkce.

Elementární funkce v komplexním oboru, definice pomocí mocninných řad.

Porovnání reálného a komplexního oboru: rovnost funkce a součtu její Taylorovy řady v reálném a komplexním oboru; funkce mající první derivace a nemající vyšší derivace. Taylorova řada součtu mocninné řady. Analytické funkce a analytické rozšíření (prodloužení), vysvětlení na součtu geometrické řady a na funkci, kterou jsme probírali v referátu o Riemannově hypotéze.

Věta 5.9.8 z textu kolegy Veselého -- souvisí s předchozím tématem.

Věta o jednoznačnosti, "přenesení" vzorců z reálného do komplexního oboru.

Mocninné řady, poloměr konvergence, věta o poloměru konvergence i s důkazem. Derivování mocninné řady člen po členu, věta o poloměru "zderivované řady", důkaz pro případ vzorce pro poloměr konvergence. Věta o derivaci mocninné řady člen po členu, vysvětlení, že v případě obecných řad toto platit nemusí.

Poměr bodů, pro jaké trojice nabývá reálných hodnot, lineární zobrazení zachovává poměr bodů, jak odtud plyne, že lineární zobrazení zachovává úhly a poměry délek úseček. Dvojpoměr bodů, pro jaké čtveřice nabývá reálných hodnot i s důkazem.