Požadavky ke zkoušce z UKPX 2024/25

Zkouška bude mít ústní a písemnou část.
K písemné části si můžete vzít vlastnotručně psaný tahák formátu nejvýše a4 z jedné strany popsaný. Tahák odevzdáte spolu s písemkou.
K ústní části si můžete vzít vlastnoručně psaný tahák s až pěti důkazy, který můžete použít při přípravě na ústní zkoušku. Seznam tvrzení, jejichž důkazy máte na taháku odevzdáte na začátku písemky.
Zkoušeni budete u tabule a při zkoušení budete moci používat svoji přípravu i tahák.

Písemná část:
Typové příklady (1 až 11, tedy bez 12) . K úspěšnému absolvování je třeba mít tři a půl úloh dobře (půl úlohy znamená dopočítaná úloha se závažnější numerickou chybou). K některým úlohám přidám hvězdičkovou variantu, a ta bude počítána za jednu a půl úlohy.

Ústní část:
Definice komplexních čísel, aritmetických operací s komplexními čísly. Důkaz, že komplexní čísla s operacemi sčítání a násobení tvoří těleso.
zdroj
Vlastnosti operací s komplexními čísly a jejich důkaz.
zdroj 1 zdroj 2 nasdílený dálkařům
Definice spojitosti funkce komplexní proměnné. Důkaz spojitosti polynomů. Použití k důkazu základní věty algebry.
zdroj
Derivace funkce komplexní proměnné. Cauchy-Riemannovy podmínky. Nutné a postačující podmínky existence derivace. Pohled na derivaci jako lineární zobrazení, jak se odtud dají odvodit Cauchy-Riemannovy podmínky.
zdroj
Lineární funkce komplexní proměnné a podobné zobrazení v rovině.
zdroj.
Věta o rozkladu reálného polynomu na součin polynomů stupně nejvýše dva a její důkaz.
zdroj nasdílený všem
Holomorfní funkce a její vlastnosti. Holomorfní funkce jako zobrazení, které zachovává úhly (tzv. konformní zobrazení).
zdroj.
Transcendentní funkce. Definice funkcí exp, sin, cos v komplexním oboru, jejich vlastnosti, řešení rovnic s těmito funkcemi.
zdroj.
Stereografická projekce, odvození vztahů. Otočení sféry o 180 stupňů kolem souřadných os, stereografická projekce vzoru a obrazu do Gaussovy roviny, výpočet zobrazení v Gaussově rovině.
Rovnice přímky a kružnice v Gaussově rovině. Obraz přímky a kružnice zobrazením f(z)=1/z, na čem závisí, zda je obraz přímka, či kružnice. Zobecněná kružnice, rovnice zobecněné kružnice v Gaussově rovině.
Věta o obrazu zobecněné kružnice zobrazením f(z)=1/z, f(0)=nekonečno, f(nekonečno)=0. Bude stačit jeden z důkazů (úpravou rovnice, nebo pomocí dvojpoměru).
Lineárně lomená funkce v komplexním oboru, složená funkce a její vyjádření maticovým součinem.
zdroje: [JV-UKP], poznámka 1.2.3, od definice 4.3.11 k poznámce 4.3.14 (u té si ještě všimněte, že matice s prvky (alfa, beta,gama, delta) je součinem matic s prvky (a_1, b_1, c_1, d_1), (a_2, b_2, c_2, d_2),
text o stereografické projekci,
dvojpoměr a zobecněná kružnice.

Materiály z doby online výuky. Především videa.