21. prosince 2022
Dokázali jsme jednu z implikací heineho věty 4.2.11 (je-li f spojitá v bodě x_0, pak ...).
Dokázali jsme Weierstrassovu větu 4.3.31 o extrémech spojité funkce.
Dokázali jsme nerovnost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem -- dodatek učebního textu.

14. prosince 2022
Zůstávají úlohy 4.07, 4.08 a důkaz 2.2.12 pro nerostoucí posloupnost. Stanislav si připraví důkaz věty o limitě součtu a součinu pro vybrané případy.

Z kapitoly o posloupnostech dokážeme, že každá Cauchyovská posloupnost je konvergentní (2.4.8).
Tvrzení 2.4.13 a důsledek 2.4.14 o limitách vybraných posloupností.

30. listopadu 2022
Libuše si připraví úlohu 4.08, Stanislav úlohy 4.07 a důkaz Bernoulliovy nerovnosti.
Dále oba důkaz o limitě součtu a součinu pro konkrétní případ s (alespoň jednou) nekonečnou limitou.

Budeme pokračovat kapitolou 2.4.

23. listopadu 2022
Zůstávají úlohy 4.07, 4.08, rozepsání případů v tvrzení 2.2.7.
Dále: dokažtě tvrzení 2.2.12 pro nerostoucí posloupnost a dokažte Bernoulliovu nerovnost.

Probrali jsme kapitolu 2.3 a zkapitoly 2.4 větu 2.4.1.

16. listopadu 2022
4.03 pro konkrétní n, m, stejně tak 4.07, 4. 08.
Rozepsat všecny případy v tvrzení 2.2.7.
Napsat definice limity posloupnosti pro tři případy: konečná limita, +nekonečno, -nekonečno. Použijeme je k důkazu lemmatu 2.2.9.

Dokončili jsme kapitolu 2.2.

9. listopadu 2022
Na sdílený disk dejte úlohy 3.06, 3.07, 3.08, 4.03, 4.07, 4.08 pro n, m = 2,3,4. Dále dokažte, že třetí odmocnina je funkce rostoucí na množině reálných čísel a dokončete důkaz věty o kořeni spojité funkce.
Stanislav si připraví jednu až tři otázky z látky ze společných hodin.

Probrali jsme d;kaz věty o existenci limity shora omezené rostoucí posloupnosti ([JV] 2.1.19). Pokračovali jsme kapitolou 2.2 z [JV], došli jsme k poznámce 2.2.8.

2. listopadu 2022
Úlohy: 2ef na spojité rozšíření, úlohy 4.01 až 4.04 ze sbírky od Ilji Černého a úlohy 3.01 -- 3.05 na limity posloupností.

Vyložili jsme supremum dle [JV] 1.3.8 -- 9 a axiom existence suprema. Probírali jsme vznik čísel jako geometrických veličin -- přirozená čísla, zlomky přirozených čísel (studenti si mají rozmyslet, jak zkonstruovat trisekci úsečky, která je na rozdíl od trisekce úhlu možná), odmocnina ze dvou jako velikost úhlopříčky ve čtverci. Třetí odmocninu ze dvou zkonstruovat nelze (ukázali jsme, jak to souvisí se zdvojením krychle), zabývali jsme se důkazem existence třetí odmocniny ze dvou, použili jsme vlastnost suprema a spojitost třetí mocniny. Zobecněním tohoto postupu dostaneme důkaz věty o kořeni spojité funkce, studenti dokončí doma.

26. října 2022
Zkontrolujeme domácí úkoly.
Dokončíme kapitolu 2.1 z [JV] a pustíme se do počítání limit posloupností ze sbírky od Ilji Černého (3.01 až 3.17).

19. října 2022
Probrali jsme:
Stanislavův dotaz k úloze 5a z prvních úloh.
Metodu řešení nerovnic podle Libuše (budeme probírat i s teorií zítra na společné hodině). Při diskusi o úloze 3a jsme rozebrali otázky z úloh 7, 7a ze středoškolské matematiky a vysvětlili, o co jde při ověřování kořenů.
Z kapitoly o posloupnostech jsme probrali 2.1.11 až 2.1.13.
Při probírání poznámky 2.1.11 jsme se zmínili o supremu a infimu (nahrazují maximum a minimum), budeme později probírat podrobně.
Při zmínce o tranzitivitě (je-li a<b, b<c, pak je i a<c), jsme se dostali k tomu, co je kartézský součin dvou množin (v [JV] nad poznámkou 1.2.1.), mluvili jsme i o relacích, podrobně je budete brát v algebře v letním semestru, základy najdete v [JV] za poznámkou 1.2.1.
Řekli jsme, co je graf funkce (úvodní kapitola [MŠ4+1] nebo [JV], definice 1.4.1.) a že se někdy funkce definuje primárně jako graf a z něj se pak odvodí předpis a definiční obor. Tato definice se používá, protože současná matematika stojí na pojmu množina. V té souvislosti jsme se zmínili o naivní teorii množin a Russelově paradoxu (je množina všech "slušných" množin "slušná"?, podrobnosti v [MŠ-LVM]).
Řekli jsme, že v historii matematiky byly tři krize, první u Pythagorejců souvisela s iracianolitou odmocnin, (druhá souvisela s definicí derivace a limity), třetí s Russelovým paradoxem.

Doma:
Dokázat de Morganovy vzorce a distributivní zákony pro množiny pomocí Vennových diagramů i bez nich; pro výroky pomocí tabulky pravdivostních hodnot. Není nutno dokazovat vše, stane-li se to pro vás rutinním.
Přečíst z [JV] 2.1.14 až 2.1.17 (včetně) povinně, případně i 2.1.18.

12. října 2022
Pročtěte:
z [JV] úvod, z kapitoly 1: 1.1, 1.2, z kapitoly 2 až k 2.1.10 včetně,
z [MŠ4+1] úvodní kapitolu,
z [MŠ-LVM] Jazyk matematiky, Základy výrokové a predikátové logiky, Implikaci, Obměněnou a obrácenou implikaci, Množiny, Operace s množinami, Výroky a množiny -- vzájemné souvislosti.
Dokažte:
platnost de Morganových vzorců a distributivních zákonů (najdete je v části Výroky a množiny -- vzájemné souvislosti).

Literatura:
[JV] Jiří Veselý: Základy matematické analýzy.
[MŠ4+1]
[MŠ-LVM].