Úlohy:
Na řady od kolegy Soudského: zbývá lemma o řadě a_n, f(a_n) a derivaci f=´(0).
Úloha pro gamblery.

Další plán:

---

11. května
Spočítali jsme obraz funkce Id^2-Id v Bernsteinových polynomech, udělali oba důkazy Weierstrassovy věty o stejnoměrné aproximaci spojité funkce polynomem (přes řadu i přes integrál).
Desmos k důkazům.

10. května
Věnovali jsme se dotazům na Abel-Dirichletovo kritérium.
Probrali jsme obrazy Bernsteinovými polynomy funkcí Id^0,1,2.

3. května
Důkaz trojúhelníkové nerovnosti pro více sčítanců matematickou indukcí.
Věta o stejnoměrné aproximaci spojité funkce na uzavřeném intervalu (podle [JV2], věta 14.4.4: ukázali jsme, že Bernsteinovy polynomy jsou lineární a monotonní zobrazení z prostoru funkcí do prostoru polynomů, vysvětlili jsme definici monotonie. Dokázali jsme tvrzení (T) 14.10, prošli důkaz 14.4.4, konstatovali, že po použití monotonie operátoru L_n se dosadí x=y a že pro Bernsteinovy polynomy dostaneme jednodušší tvar (v [JV2] je to (14.18)).

20. -- 27. dubna (nezpracovala jsem včas svoje poznámky a nemám je datované)
Důkaz Abel-Dirichletova kritéria.
Důkaz konvergence absolutně konvergentní řady.
Věta o stejnoměrné aproximaci spojité funkce na uzavřeném intervalu (jen náčrtek ke tvrzení věty).
Plocha mezi grafy sin(2x) a cos(x).
Řady arctg 1/n, arccotg n, log(n/(1+sqrt(n))^2) (je dokončeno?).

Přednáškocvičení 19. dubna
Důkaz iracionality Eulerova čísla.
Taylorův polynom logaritmu v jedničce a souvislost s řadou sum(log(n^2/(n^2+1))).
Řada sum(sin(nx)/n^x) a Abel-Dirichletovo kriterium, pokus o důkaz, oprava

Cvičení 13. dubna
Nápověda k důkazu iracionality Eulerova čísla.
Nápověda k řadě sum(log(n^2/(n^2+1))).
Limita posloupnosti (1+a/n)^n, úloha 15 na řady z textu kolegy Soudského.
Derivace exp(-1/x^2) v nule.

Přednáškocvičení 6. dubna
Úlohy na řady 7, 9, 10, 11 z textu kolegy Soudského.
Úloha na řady od kolegy Plešingera: první v desmosu, druhý graf v desmosu je součet z úlohy 7.
Důkaz, že posloupnost (1+1/n)^n je rostoucí a shora omezená. K důkazu jsme použili a-g nerovnost.

Cvičení 5. dubna
Úloha na konvexní funkce 1309 z Děmidovičovy sbírky, vysvětlili jsme, co je hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení.
Vysvětlili jsme použití Taylorova polynomu a binomické věty v kapitole o Eulerově čísle v textu o řadách.

Cvičení 29. března
Spočítali jsme f''(0), f'''(0) spojitého rozšíření funkce exp(-1/x^2). Na příště: f''''(0), případně f^(n)(0).
Probrali jsme úlohu 1300 z Děmidovičovy sbírky.
Konvexitu, limity a graf f(x)=exp(tg(x)) na (-pi/2,pi/2).
Vysvětlovali jsme úpravy v textu o Eulerově čísle.
Úloha ze včerejšího cvičení: dvě skla s propustností p, odrazivostí 1-p, počítali jsme intenzitu průchodu po násobném odrazu, sečetly řadu. Ukázaly jsme, jak spočítat propustnost trojice skel.
Rozebíraly jsme úlohu o hodu kostkou -- za hod 1 až 5 je žeton, hodem 6 hra končí. Při jakém vstupném (v žetonech) na jednu hru se hraní vyplatí.

Cvičení 23. března
Probrali jsme úlohy 1302, 1304, 1308 z Děmidovičovy sbírky.
Ukázali jsme, že funkce exp(-1/x^2) lze v nule spojitě rozšířit a pro toto spojité rozšíření je f'(0)=0. Úkol na příště: f''(0), f'''(0).
Další úkol: konvexita, limity a graf f(x)=exp(tg(x)) na (-pi/2,pi/2).

Přednáškocvičení 22. března
Důkaz věty o Lagrangeově tvaru zbytku pro stupeň polynomu 2, končíme, je jasné, jak to bude pro vyšší stupeň.
Cvičení na suprema a infima: A, B, množiny, pokud pro každé x z A, a každé y z B platí x < y, pak je sup A <= inf B.
Dokončili jsme kapitolu 7.2.
Konstruovali jsme konvexní funkci nemající derivaci na husté množině. Zkonstruovali jsme posloupnost funkcí, ukázali, že jsou konvexní a množina bodů nespojitosti první derivace se "zahušťuje". Není problém se spojitostí v limitním přechodu (použije se věta o stejnoměrné konvergenci, budeme brát ve třetím semestru), možná(?) je problém s konvexností v limitním přechodu.

Přednáškocvičení 16. března
Cvičení: Důkaz, že derivace zleva konvexní funkce je neklesající. Důkaz věty o Lagrangeově tvaru zbytku pro stupeň polynomu 1.

Přednáška:
Dokončili jsme důkaz 7.2.8, místo tvrzení 3.4.34 jsme použili jen podobnou úvahu.
Probrali jsme lemma 7.1.2 a poznámky 7.1.3.

Přednáška 15. března
Probrali jsme konvexní funkce dle 7.2, [JV] až k lemmatu 7.2.8., kde jsme nedokončili důkaz (3).

Přednáškocvičení 9. března
Probrali jsme úlohu 11 a zavedení goniometrických funkcí: 6.6.3 -- 6.6.5 z [JV].
Konstatovali jsme, že jednoznačnost dostaneme použitím Taylorovy řady. Číselné řady probereme v tomto semestru, mocninné řady a obecněji řady funkcí ve 3. semestru. Pak dokážeme, že zbytek Taylorova polynomu konverguje k nule pro pevné x a stupeň polynomu blížící se k nekonečnu. Odtud plyne, že funkce s, c jsou součtem svých Taylorových řad.
Existenci lze dostat například manipulací s mocninnými řadami -- zde pro exponenciálu.

Přednáška 8. března
Diskutovali jsme o intuitivní platnosti Weierstrassovy věty a nutnosti jejího důkazu.
Dali jsme nápovědu k úloze 11.
Zopakovali jsme, co víme o Taylorově polynomu, o jeho zbytku. Dokázali jsme větu o Lagrangeově tvaru zbytku.

Přednáškocvičení 2. března
úlohy 1, 2, 6 až 11
Návod k úloze 11.
Povídání o konvexních kombinacích, konvexních množinách, konvexních funkcích a výhled na důkazy 7.2 z [JV], k textu se ještě vrátíme.
Taylorův polynom, jeho derivace, zbytek Taylorova polynomu, odvozování derivací zbytku v bodě, který je středem Taylorova polynomu, ukázali jsme, že jsou až do řádu polynomu nulové. Ukázali jsme souvislost s n-tou mocninou v počátku, která má také derivace až do řádu n-1 nulové.

Přednáška 1. března
Heineho věta o ekvivalenci topologické a sekvenciální definice spojitosti.
Důkaz věty o kořeni spojité funkce pomocí Heineho věty.