Zdroje:
[JM] Malý Jan: Teorie míry a integrálu
[LM] Lukeš Jaroslav, Malý Jan: Measure and Integral
[IN] Ivan Netuka: Integrální počet: vícerozměrný Lebesgueův integrál
Téma přednášky TEM je Lebesgueův integrál (je zobecněním Riemannova integrálu) funkce jedné i více proměnných.
5. ledna 2022
Studenti nastudují důkazy 5.9, 5.10 (o spojitosti a derivaci integrálu závislém na parametru) a důkaz 6.2 pro f+ (nazápornou funkci).
Probereme příklady 7.11, 7.12, 7.27.
12. ledna 2022
Dokončíme, co jsme nestihli minule, případně se budeme věnovat dalším příkladům z kapitoly 7 s důrazem na věty o spojitosti integrálu vzhledem k parametru, derivaci integrálu vzhledem k parametru a vztahu Newtonova a Lebesgueova integrálu.
Dále projdeme alespoň znění Fubiniovy věty a věty o substituci (na důkazy čas není).
15. prosince 2021
Probrali jsme příklady 7.1 až 7.4, 7.9.
Na výpočtu integrálu x^alfa jsme vysvětlili důkaz věty 6.2 pro nezápornou funkci.
Probrali jsme příklad 7.26 o gamma funkci, a vysvětlili jsme důkazy vět 5.9, 5.10.
8. prosince 2021
Dokončili jsme důkaz věty 6.1 o vztahu Riemannova a Lebesgueova integrálu.
Studenti odprezentovali řešení úloh:
Je-li d dolní závora množiny M, pak je c-d horní závora množiny c-M (c je číslo a množina c-M obsahuje prvky c-x, kde x je z M).
Je-li i infimum množiny M, pak je c-i supremum množiny c-M.
Pro každou posloupnost reálných čísel existuje vybraná posloupnost konvergující k limes inferioru původní posloupnosti.
Stejné tvrzení platí pro limes superior.
Dokázali jsme Fatouovo lemma a Lebesgueovu větu o záměně integrálu a limity.
Jana prezentovala důkaz tvrzení 8.17 z [IN].
Michal prezentoval větu 5.5 o aditivitě Lebesgueova integrálu pro nezáporné funkce.
1. prosince 2021
Dokončili jsme důkaz Leviho věty.
Při tom jsme demonstrovali definici integrálu z jednoduché funkce na dělení na obdélníky (jako u dvojného Riemannova integrálu).
Definovali jsme Lebesgueův integrál pro funkci, která není nezáporná.
Řekli jsme, co znamená, že integrál konverguje a co znamená, že existuje.
Řekli jsme, co je limes superior a limes inferior posloupnosti, vyslovili jsme větu o limitním přechodu v nerovnosti (budeme to potřebovat k důkazu Lebesgueovy věty o limitním přechodu v integrálu, ten probereme příště).
Michal odprezentoval úlohu o horní hranici a supremu množiny cM.
Udělali jsme část důkazu věty 6.1 o vztahu Riemannova a Lebesgueova integrálu, dokončení bude příště.
24. listopadu 2021
V 16 hodin studenti prezentovali důkazy tvrzení 8.15, 8.16 z [IN].
24. listopadu 2021
Studenti prezentovali důkaz, že v 3.1 z (i) plyne (iii) a
(d) z 3.2.
Z kapitoly 5 jsme probrali větu 5.2 a Leviho větu 5.3 (u té se ještě příště vrátíme k závěru důkazu).
11. listopadu 2021
Věnceslav ukázal, že průnik spočetného systému měřitelných množin je měřitelná množina.
Dokázali jsme 3.2 (e), prošli kapitolu 4 (bez Jegorovovy a Luzinovy věty) a začali kapitolu 5.
Studenti si rozmyslí důkaz lemmatu 5.1.
10. listopadu 2021
Dokončili jsme kapitolu 8 z [IN].
Ukázali jsme existenci neměřitelné množiny.
Z kapitoly 3 z [IN] jsme probrali prostor s mírou, Borelovské množiny, větu 3.1, z věty 3.2 (a) až (d).
4. listopadu 2021
Zopakovali jsme, o co jde v kapitolách 2, 8 z [IN] a v kapitole 8 jsme probrali 8.8 až 8.15.
3. listopadu 2021
Z [IN] jsme probrali kapitolu 2 a v kapitole 8 až do 8.7.
6. října 2021
Viz přednáška AN3
29. září 2021
Viz přednáška AN3