V lednu 2022 se na cvičeních věnujeme úlohám ke zkoušce, na přednáškách opakování teorie a pracím studentů.

Čtvrtým tématem jsou řady funkcí. Vloni na začátku semestru.

Cvičení 14. prosince 2021
Zabývali jsme se úlohami na Taylorovy řady.

Přednáška 8. prosince 2021
Dokázali jsme větu o poloměru konvergence MŘ.
Ukázali jsme, že Taylorova řada funkce kosinus konverguje ke cos(x) pro všechna x.
Zkoumali jsme funkci, jejíž Taylorova řada je rovna nule a funkce není nulová (na rozdíl od kosinu se tedy nerovná součtu své mocninné řady).
Ukázali jsme, že Taylorova řada součtu MŘ je rovna této MŘ a řekli jsme, jak je možné toto tvrzení použít na získání Taylorovy řady některých funkcí.

Cvičení 7. prosince 2021
Věnovali jsme se úlohám na mocninné a Taylorovy řady.

Ukázali jsme: Pokud MŘ konverguje pro x_1, pak absolutně konverguje pro všechna x, která jsou od středu konvergence vzdálena méně než x_1. Předpoklad konvergence pro x_1 lze nahradit omezeností členů MŘ pro x_1.


Přednáška 1. prosince 2021
Řekli jsme, co je mocninná řada (MŘ), střed a koeficienty MŘ. Řekli jsme, co je Taylorova řada, uvedli příklady pro exponenciální funkci a funkci sinus. Formulovali jsme větu o poloměru konvergence MŘ a větu o spojitosti MŘ a derivování řady člen po členu.
Ukázali jsme příklad řady (resp. posloupnosti částečných součtů), jejíž členy jsou spojité funkce, ale součet není spojitou funkcí. Ukázali jsme, že ne/spojitost součtu souvisí s ne/záměnností limit.

Cvičení 30. listopadu 2021
Zabývali jsme se úlohami na derivace a úlohami na řady.

Videa ke geometrickému významu Jacobiovy matice a Jacobiánu (všechny tři ukázky jsou z jednoho videa):
V 1D -- derivace jako prodloužení/zkrácení -- video1 (12 s), video2 (3 minuty) (obě videa na sebe téměř navazují).
Ve 2D -- video (jen asi 8 s).
Další ilustrace je na thetruesize.com.

Třetím tématem jsou metrické prostory. Vloni na přelomu listopadu a prosince.

Přednáška 24. listopadu 2021
K metrickým prostorům: definovali jsme konvergentní a Cauchyovskou posloupnost, dokázali jsme, že každá konvergentní posloupnost je Cauchyovská, řekli jsme, co je úplný metrický prostor (platí tam i opak). Vzpomněli jsme na první semestr a konstatovali, že reálná čísla tvoří úplný metrický prostor, zatímco racionální nikoliv.

Zabývali jsme se zobrazeními z R do R^2, ukázali, že odpovídají parametrickým rovnicím křivky, řekli a zdůvodnili jsme, že derivace je tečným vektorem ke křivce.
Rozebírali jsme zobrazení z R^2 do R^2: (u,v)=(xy,y/x), spočítali jsme inverzní zobrazení (v 1. kvadrantu), jeho Jacobiovu matici, Jacobián. Ukazovali jsme geometrický význam řádků a sloupců Jacobiovy matice a Jacobiánu a Jacobián jsme použili k výpočtu plochy obrazce.

23. listopadu 2021
Věnovali jsme se metrickým prostorům: definovali jsme metrický prostor, uvedli příklady (vesměs to byly metriky odvozené od norem v normovaných vektorových prostorech).
Řekli jsme, co je vnitřní, hraniční, vnější, izolovaný, hromadný bod množiny a uvedli příklady.
Řekli jsme, co je otevřená, uzavřená a kompaktní množina.

Druhým tématem jsou derivace (nejen parciální). Vloni od konce přednášky 14. 10. k začátku přednášky 25. 11.

Cvičení 16. listopadu 2021
Věnovali jsme se úlohám na globální extrémy.

Přednáška 10. listopadu 2021
Jana vysvětlila, co je uzavřená a omezená množina a zformulovala obdobu Weierstrassovy věty o existenci extrému spojité funkce pro funkci dvou proměnných.
Řešili jsme úlohy 17.10, 17.58 z IK2, sbírky příkladů od profesora Černého.

Cvičení 9. listopadu 2021
Nechali jsme si geobebrou vykreslit graf funkce (x^3y-xy^3)/(x^2+y^2) a ze zkroucení grafu okolo počátku jsme usuzovali na znaménko smíšené parciální derivace.
Věnovali jsme se úlohám na vázané extrémy.

Přednáška 3. listopadu 2021
Spočítali jsme smíšené derivace funkce f(x,y)=xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) rozšířené nulou v počátku a ukázali jsme, že se nerovnají.
Probrali jsme lokální extrémy funkce dvou proměnných, nutnou podmínku extrému, postačující podmínku extrému.
Probrali jsme vázané a globální extrémy, metody hledání extrému funkce na křivce: převedení na hledání extrému funkce jedné proměnné, metodu lagrangeových multiplikátorů.

Cvičení 2. listopadu 2021
Probrali jsme úlohy na stacionární body funkce a Taylorův polynom. Na úloze 2d jsme ukázali použití pravidla pro derivaci složené funkce (začíná v polovině strany 4).
K výpočtu příkladu 2.22 z textu profesora Zajíčka se vrátíme, pokud si to vyžádáte. Příklad bude součástí požadavků ke zkoušce. Stále pro tento příklad platí zvláštní sdílený disk.

Přednáška 27. října 2021
Řekli jsme definici stacionárních bodů funkce a geometrický význam.
Řekli jsme definici Taylorova polynomu druhého stupně. Zformulovali jsme větu o záměnnosti parciálních derivací. Připomněli jsme, jak vyjádřit členy druhého stupně pomocí maticového součinu.
Dokázali jsme větu o existenci silné (Fréchetovy) derivace, viz strana 4, 5 textu o slabé a silné derivaci.
Dokázali jsme větu o spojitosti a derivaci (viz strana 5 dole textu zmíněného výše). Ukázali jsme příklad funkce, která má v bodě slabou derivaci, ale není v tomto bodě spojitá (ve výše zmíněném textu na straně 2 dole).
Zformulovali jsme větu o silné derivaci složeného zobrazení, vysvětlili na příkladě polárních souřadnic (ve výše zmíněném textu od strany 6 dole a loňská přednáška 24. 11. 2020).

Cvičení 26. října 2021
Věnovali jsme se úloze na výpočet polohy těžiště půlkruhu, kterou jsem přidala do úloh na 12. října.
Věnovali jsme se úlohám na spojitost, limity a derivace. Prohlíželi jsme grafy, vysvětlovali pojmy.
Propočítání příkladu 2.22 z textu profesora Zajíčka necháme na příští týden. Zamyslete se nad tím, jak se na obrázku projeví koeficienty 1/7 a 11/14. Mám na mysli, jak se projeví, že jeden je o hodně větší než druhý.

Přednáška 20. října 2021
Zabývali jsme se zobrazením, které pro danou funkci f dvou proměnných, daný bod B přiřadí vektoru v derivaci podle v funkce f v bodě B. Ukázali jsme, že toto zobrazení je homogenní (demonstrobvali jsme na úloze 2e ze včerejšího cvičení) a že aditivita tohoto zobrazení souvisí s tím, že tečny v bodě B ke grafu f leží v jedné rovině (ke znázornění nám pomohl papírový model ze včerejšího cvičení).
Pokud je toto zobrazení lineární (tedy nejen homogenní, ale i aditivní), pak ho nazýváme slabou (Gateauxovou) derivací funkce f v bodě B.
Z textu profesora Zajíčka jsme rozebrali příklad 2.22 na straně 61 a řekli jeho souvislost se slabou derivací.
Vyřešili jsme úlohy 4, 5 ze včerejšího cvičení (ukazují funkci, která nemá slabou derivaci).
Řekli jsme, za jakých podmínek slabou derivaci nazýváme silnou derivací (inspirovali jsme se funkcí jedné proměnné, kde není rozdíl mezi slabou a silnou derivací).
Text o parciálních derivacích a derivaci ve směru.
Text o slabé a silné derivaci.

Cvičení 19. října 2021
Zabývali jsme se úlohami 5, 10, 11 z minulého týdne.
A úlohami 1, 2a -- d, 3, 6 -- 6b na parciální derivace a vrstevnice.
Vyráběli jsme papírový model demonstrující aditivitu jistého zobrazení (viz zítřejší přednáška), která zajistí, že tečny tvoří rovinu.

Přednáška 13. října 2021
Probírali jsme parciální funkci, graf funkce a graf parciální funkce, parciální derivace, přírůstek funkce, gradient a jeho geometrický význam, rovnici tečné roviny, derivaci ve směru (podle vektoru).

Prvním tématem jsou dvojné integrály. Vloni od konce přednášky 9. 12. až do konce semestru.

Cvičení 12. října 2021
Věnovali jsme se úlohám na dvojný integrál.

Přednáška 6. října 2021
Dokončili jsme téma míry dle skenu, ukázali jsme, že kartézský součin množiny racionálních čísel mezi 0 a 1 s intervalem [0,1] má Jordanovu vnitřní míru rovnu nule, Jordanovu vnější míru rovnu jedné a není tedy Jordanovsky měřitelná. Sigma aditivní vnější míru má rovnu nule.
Probrali jsme substituci do polárních souřadnic, motivačním příkladem byl objem rotačního paraboloidu.
Ukázali jsme, jak pomocí polárních souřadnic spočítat jeden důležitý integrál přes reálnou osu (integrál z e^(-x^2)).
Ukázali jsme, jak v polárních souřadnicích spočítat objem průniku válce a koule, kde střed koule leží na plášti válce.

Cvičení 5. října 2021
K úlohám na dvojný integrál: vysvětlili jsme výpočet integrálu přes sjednocení intervalů v úloze 4; u vzorce pro obsah (plochu) v úloze 6 se integruje 1; spočítali jsme integrály v úloze 8, konstatovali, že vyjdou odlišně, zítra vysvětlíme proč.
Vlastnosti obsahu na druhém listu skenu jsme zformulovali jazykem základní školy. Probrali jsme vnitřní a vnější míru a Jordanovu míru z listu 3 až 5 skenu. Z listu 6 jsme ukázali, že šikmo orientovanou úsečku o délce l můžeme po rozdělení na n stejných dílů pokrýt "speciálním obrazcem" o obsahu menším než l^2/n, a tedy její vnější míra je rovna nule. Příklad 4 z listu 6 si necháme na zítřejší přednášku.

Přednáška 29. září 2021
Na rozehřátí na první přednášku dostali studenti úlohy na dvojnásobný integrál, svoje řešení vložili do sdíleného adresáře.
Probrali jsme dvojný a dvojnásobný integrál a Fubiniovu větu -- sken.
Řekli jsme, co je míra, že obsah je 2-rozměrná míra a že obsah je zobrazení, které obrazci přiřadí číslo (mluvíme o obsahu něčeho, třeba čtverce, stejně jako mluvíme o sinu něčeho, třeba pi) -- první list skenu.