Témata přednášky z analýzy funkce komplexní proměnné

1. Definice komplexních čísel jako struktury se dvěma binárními operacemi a důkaz, že tato struktura je komutativním tělesem. Stručné uvedení alternativních definic komplexních čísel.
2. Grafické znázornění funkce komplexní proměnné: graf jako podmnožina C^2, vrstevnice reálné a imaginární části, zobrazení v komplexní rovině. Ilustrace na příkladech. Zobrazení v komplexní rovině zadané diferencovatelnou (holomorfní) funkcí, zachovávání úhlů, souvislost s Taylorovým polynomem prvního stupně.
3. Izomorfismy tělesa komplexních čísel a jejich použití ve výpočtech. Kromě isomorfismu grup (C,+), (R^2,+) probraném na přednášce další izomorfismy v úlohách 1b, 1c, 1d, probereme je na přednášce. Použití izomorfismů při řešení úloh.
4. Spojitost funkce komplexní proměnné. Spojitost polynomů a důsledek pro obraz kružnice polynomem.
5. Derivace funkce komplexní proměnné, isometrie metrických prostorů R^2 s euklidovskou metrikou a C s metrikou d(z,w)=|z-w| a odtud plynoucí věty o limitách. Zobrazení z C do C jako zobrazení z R^2 do R^2. Nutná podmínka diferencovatelnosti funkce (Cauchy-Riemannovy podmínky), nutná a postačující podmínka. Příklady diferencovatelných funkcí (mocniny, exponenciální funkce, goniometrické funkce). Taylorův polynom prvního stupně, diferencovatelné funkce a konformní zobrazení.
6. Lineární funkce komplexní proměnné, souvislost s podobným zobrazením v rovině. Definice poměru bodů a jeho vlastnosti.
7. Holomorfní funkce a jejich vlastnosti. Porovnání s diferencovatelnými funkcemi v reálném oboru. Mocninné řady v komplexním oboru, obor konvergence. Množina kořenů mocninné řady a její vlastnosti. Věta o jednoznačnosti.
   Téma pravděpodobně bude odpředneseno jen částečně. Případný učební text ale budu požadovat celý, berte to na vědomí, než si téma vyberete.
8. Definice exponenciální a goniometrických funkcí v komplexním oboru. Řešení jednoduchých rovnic s těmito funkcemi (hledání vzoru/-ů k zdanému obrazu). Věta o jednoznačnosti a její důsledky.
9. Algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla, vztah ke kartézským a polárním souřadnicím. Argument komplexního čísla, hlavní hodnota argumentu, výpočet argumentu pomocí cyklometrických funkcí. Geometrický význam aritmetických operací s komplexními čísly, konkrétní příklady grafického řešení aritmetického výrazu v komplexním oboru. Moivreova věta a její důkaz. Početní řešení rovnice z^n = w, použití Moivreovy věty a goniometrického tvaru komplexního čísla. Grafické řešení kvadratických rovnic v komplexním oboru.
10. Lineárně lomené funkce, jejich interpretace jako zobrazení v rozšířené komplexní rovině. Definice dvojpoměru bodů a jeho vlastnosti. Sférická projekce. Reprezentace rotací ve 3D prostoru pomocí lineárně lomených funkcí.
    Téma bude možná odpředneseno jen částečně. Případný učební text ale budu požadovat celý, berte to na vědomí, než si téma vyberete.
11. Nové téma: Protože studenti považují komplexní čísla za příliš abstraktní, podíváme se na ně z jiné strany.
    Budeme postupně budovat komplexní čísla jako strukturu izometricky izomorfní s vektorovým prostorem R^2. Vektor [x,y]\in R^2 nahradíme symbolem x+iy, množinu těchto symbolů označíme C.
    Definujeme součet dvou komplexních čísel a násobek komplexního čísla reálným číslem tak, aby zobrazení [x,y] <-> x+iy bylo izomorfismem. Odtud plyne, že naše operace splňují axiomy vektorového prostoru. Napíšeme tyto axiomy ve světě komplexních čísel.
    Nyní definujeme na prostoru C absolutní hodnotu tak, aby přes izomorfismus odpovídala euklidovské normě na R^2. Napíšeme vztahy, které odtud plynou (tj. napíšeme axiomy normy ve světě komplexních čísel).
    Ukážeme použití izomorfismu ve výpočtech. Například výpočet délky úsečky a odtud odvozený podíl délek stran trojúhelníku; dále definici okolí bodu.
    Dalším krokem bude definice násobení dvou komplexních čísel. Začneme neformálním povídáním o součinu i krát x+iy. Všimneme si, že standardním způsobem zavedení komplexních čísel -- tedy požadavkem distributivity a platnosti vztahu i^2=-1 -- dostaneme výsledek i krát x+iy = ix-y. Dále si všimneme, že takto definované násobení vektoru x+iy číslem i odpovídá otočení vektoru o pravý úhel a že dvojím otočením dostaneme opačný vektor, tedy -1 násobek a to je další (spolu s požadavkem asociativity) ukázka vztahu i^2=-1.
    Tento neformální úvod bude můstkem k formální definici součinu dvou komplexních čísel.
    Pak se podíváme na izomorfismus x+iy <-> matice (x, -y; y, x) a co odtud plyne (více viz úloha 1b z písemky).