Témata přednášky z analýzy funkce komplexní proměnné

1. Definice komplexních čísel jako struktury se dvěma binárními operacemi a důkaz, že tato struktura je komutativním tělesem. Stručné uvedení alternativních definic komplexních čísel.
2. Grafické znázornění funkce komplexní proměnné: graf jako podmnožina C^2, vrstevnice reálné a imaginární části, zobrazení v komplexní rovině. Ilustrace na příkladech. Zobrazení v komplexní rovině zadané diferencovatelnou (holomorfní) funkcí, zachovávání úhlů, souvislost s Taylorovým polynomem prvního stupně.
3. Izomorfismy tělesa komplexních čísel a jejich použití ve vočtech. Kromě isomorfismu grup (C,+), (R^2,+) probraném na přednášce další izomorfismy v úlohách 1b, 1c, 1f, probereme je na přednášce. Použití izomorfismů při řešení úloh.
4. Spojitost funkce komplexní proměnné. Spojitost polynomů a důsledek pro obraz kružnice polynomem.
5. Derivace funkce komplexní proměnné, isometrie metrických prostorů R^2 s euklidovskou metrikou a C s metrikou d(z,w)=|z-w| a odtud plynoucí věty o limitách. Zobrazení z C do C jako zobrazení z R^2 do R^2. Nutná podmínka diferencovatelnosti funkce (Cauchy-Riemannovy podmínky), nutná a postačující podmínka. Příklady diferencovatelných funkcí (mocniny, exponenciální funkce, goniometrické funkce). Taylorův polynom prvního stupně, diferencovatelné funkce a konformní zobrazení.
6. Lineární funkce komplexní proměnné, souvislost s podobným zobrazením v rovině. Definice poměru bodů a jeho vlastnosti.
7. Holomorfní funkce a jejich vlastnosti. Porovnání s diferencovatelnými funkcemi v reálném oboru. Mocninné řady v komplexním oboru, obor konvergence. Množina kořenů mocninné řady a její vlastnosti. Věta o jednoznačnosti.
   Téma nebylo odpředneseno.
8. Definice exponenciální a goniometrických funkcí v komplexním oboru. Řešení jednoduchých rovnic s těmito funkcemi (hledání vzoru/-ů k zdanému obrazu). Cauchyúv součin řad, věta o Cauchyově součinu absolutně konvergentních řad, odvození vztahu pro exp součtu. Věta o jednoznačnosti a její důsledky.
9. Algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla, vztah ke kartézským a polárním souřadnicím. Argument komplexního čísla, hlavní hodnota argumentu, výpočet argumentu pomocí cyklometrických funkcí. Geometrický význam aritmetických operací s komplexními čísly, konkrétní příklady grafického řešení aritmetického výrazu v komplexním oboru. Moivreova věta a její důkaz. Početní řešení rovnice z^n = w, použití Moivreovy věty a goniometrického tvaru komplexního čísla. Grafické řešení kvadratických rovnic v komplexním oboru.
10. Lineárně lomené funkce, jejich interpretace jako zobrazení v rozšířené komplexní rovině. Definice dvojpoměru bodů a jeho vlastnosti. Sférická projekce. Reprezentace rotací ve 3D prostoru pomocí lineárně lomených funkcí.
    Téma nebylo odpředneseno.
11. Nové téma: Protože studenti považují komplexní čísla za příliš abstraktní, podíváme se na ně z jiné strany.
    Budeme postupně budovat komplexní čísla jako strukturu izometricky izomorfní s vektorovým prostorem R^2. Vektor [x,y]\in R^2 nahradíme symbolem x+iy, množinu těchto symbolů označíme C.
    Definujeme součet dvou komplexních čísel a násobek komplexního čísla reálným číslem tak, aby zobrazení [x,y] <-> x+iy bylo izomorfismem. Odtud plyne, že naše operace splňují axiomy vektorového prostoru. Napíšeme tyto axiomy ve světě komplexních čísel.
    Nyní definujeme na prostoru C absolutní hodnotu tak, aby přes izomorfismus odpovídala euklidovské normě na R^2. Napíšeme vztahy, které odtud plynou (tj. napíšeme axiomy normy ve světě komplexních čísel).
    Ukážeme použití izomorfismu ve výpočtech. Například výpočet délky úsečky a odtud odvozený podíl délek stran trojúhelníku; dále definici okolí bodu.
    Dalším krokem bude definice násobení dvou komplexních čísel. Začneme neformálním povídáním o součinu i krát x+iy. Všimneme si, že standardním způsobem zavedení komplexních čísel -- tedy požadavkem distributivity a platnosti vztahu i^2=-1 -- dostaneme výsledek i krát x+iy = ix-y. Dále si všimneme, že takto definované násobení vektoru x+iy číslem i odpovídá otočení vektoru o pravý úhel a že dvojím otočením dostaneme opačný vektor, tedy -1 násobek a to je další (spolu s požadavkem asociativity) ukázka vztahu i^2=-1.
    Tento neformální úvod bude můstkem k formální definici součinu dvou komplexních čísel.
    Pak se podíváme na izomorfismus x+iy <-> matice (x, -y; y, x) a co odtud plyne (více viz úloha 1b z písemky).