Témata přednášky z analýzy funkce komplexní proměnné
Níže najdete témata přednášky, hranice témat nejsou ostré.
Například Taylorův polynom prvního stupně může patřit k tématu derivace, k tématu lineární funkce i k tématu grafické znázornění funkce komplexní proměnné.
Během listopadu ještě budu témata rozpracovávat/upravovat.
Proloženě vysázené části nebyly dosud probrané.
Rozhodnete-li se vypracovat studijní text, použijte k jeho vypracování svoje poznámky, předložené studijní materiály, jazykové modely. Text zpracujte tak, aby byl dobrým průvodcem vašim spolužákům při samostudiu. Součástí vaší práce bude i reflexe použitých nástrojů, tuto reflexi předáte ústně u zkoušky, můžete si připravit písemné podklady. Učební text odevzdáte do 4. ledna 2026.
-
Definice komplexních čísel jako struktury se dvěma binárními operacemi a důkaz, že tato struktura je komutativním tělesem.
Stručné uvedení alternativních definic komplexních čísel.
-
Grafické znázornění funkce komplexní proměnné: graf jako podmnožina C^2, vrstevnice reálné a imaginární části, zobrazení v komplexní rovině.
Ilustrace na příkladech.
Zobrazení v komplexní rovině zadané diferencovatelnou (holomorfní) funkcí, zachovávání úhlů, souvislost s Taylorovým polynomem prvního stupně.
-
Izomorfismy tělesa komplexních čísel a jejich použití ve výpočtech.
Kromě isomorfismu grup (C,+), (R^2,+) probraném na přednášce další izomorfismy v
úlohách 1b, 1c, 1d, probereme je na přednášce.
Použití izomorfismů při řešení úloh.
-
Spojitost funkce komplexní proměnné. Spojitost polynomů a důsledek pro obraz kružnice polynomem.
-
Derivace funkce komplexní proměnné, nutná podmínka diferencovatelnosti funkce (Cauchy-Riemannovy podmínky), nutná a postačující podmínka.
Taylorův polynom prvního stupně, diferencovatelné funkce a konformní zobrazení.
-
Lineární funkce komplexní proměnné, souvislost s podobným zobrazením v rovině.
Definice poměru bodů a jeho vlastnosti.
-
Holomorfní funkce a jejich vlastnosti. Porovnání s diferencovatelnými funkcemi v reálném oboru.
Mocninné řady v komplexním oboru, obor konvergence.
Množina kořenů mocninné řady a její vlastnosti.
Věta o jednoznačnosti.
Téma pravděpodobně bude odpředneseno jen částečně. Případný učební text ale budu požadovat celý, berte to na vědomí, než si téma vyberete.
-
Definice exponenciální a goniometrických funkcí v komplexním oboru.
Řešení jednoduchých rovnic s těmito funkcemi (hledání vzoru/-ů k zdanému obrazu).
Věta o jednoznačnosti a její důsledky.
-
Algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla, vztah ke kartézským a polárním souřadnicím.
Argument komplexního čísla, hlavní hodnota argumentu, výpočet argumentu pomocí cyklometrických funkcí.
Geometrický význam aritmetických operací s komplexními čísly, konkrétní příklady grafického řešení aritmetického výrazu v komplexním oboru.
Moivreova věta a její důkaz.
Početní řešení rovnice z^n = w, použití Moivreovy věty a goniometrického tvaru komplexního čísla.
Grafické řešení kvadratických rovnic v komplexním oboru.
-
Lineárně lomené funkce, jejich interpretace jako zobrazení v rozšířené komplexní rovině.
Definice dvojpoměru bodů a jeho vlastnosti.
Sférická projekce. Reprezentace rotací ve 3D prostoru pomocí lineárně lomených funkcí.
Téma bude možná odpředneseno jen částečně. Případný učební text ale budu požadovat celý, berte to na vědomí, než si téma vyberete.