Přednáška 3. 5. 2019
Ukázali jsme důkaz 11.2.23 z [JV2] pro monotonní funkci (jednodušší než ten, co jsme probírali minule).
Vyložili jsme definice kompaktních a sekvenciálně kompaktních množin reálných čísel (v [JV2] 13.3.4, 13.3.23 pro metrické prostory -- my budeme uvažovat reálná čísla) a ukázali, že jsou ekvivalentní (věta 13.3.24, důkaz jsme dělali jinak než je zde).

Přednáška 26. 4. 2019
Ukázali jsme, že spojitá funkce na otevřeném omezeném intervalu je na něm stejnoměrně spojitá právě když je možné ji spojitě rozšířit do krajních bodů intervalu ([JV2], 11.1.4).
Dokázali jsme 11.2.23 z [JV2].

Přednáška 16. 4. 2019
Vysvětlovali jsme, proč je v důkazu Korovkinovy věty přirozené dosadit x za x_0.
Probrali jsme další důkaz Weierstrassovy věty (o stejnoměrné aproximaci spojité funkce polynomem). Aproximující polynomy ze spojité funkce jsme zde získali integrováním (u Bernsteinových polynomů to byl "diskrétní" součet).

Přednáška 12. 4. 2019
Definovali jsme stejnoměrnou spojitost a dokázali, že funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na něm stejnoměrně spojitá.
Probrali jsme důkaz Korovkinovy věty 14.4.4 z [JV2]. V důkaze jsme udělali chybu -- obraz konstanty (epsilon a f(x_0)) je konstanta krát obraz jedničky.

Přednáška 5. 4. 2019
Dokončili jsme podkapitolu 7.2 z [JV].
Z podkapitoly 14.4 z [JV2] jsme probrali definici 14.4.1, větu 14.4.2 pro reálné funkce. Dále jsme probrali poznámku 14.4.3 a lemma 14.4.5.
Grafy Bernsteinových polynomů (strana 16, 17).

Přednáška 29. 3. 2019
Ukázali jsme, že mocninná řada konverguje stejnoměrně na kruhu o menším poloměru než je poloměr konvergence a se středem ve středu konvergence. Konstatovali jsme, že odtud plyne spojitost součtu mocninné řady na kruhu konvergence.
Probírali jsme konvexní funkce, podkapitola 7.2 z [JV] až k poznámce 7.2.9. Podrobnější poznámky k tématu jsou v kapitole 11 z [MŠ].

Přednáška 22. 3. 2019
Zopakovali jsme definici a vlastnosti stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí. Uvedli jsme příklad: x přiřadíme x+xⁿ na intervalu (0,1). Nakreslili jsme graf limitní funkce (x přiřadíme x), kolem grafu jsme nakreslili epsilon okolí ("epsilon dálnici") a grafy z posloupnosti funkcí. Konstatovali jsme, že "odříznutím kousku u jedničky" z intervalu (0,1) dostaneme interval, na kterém uvedená posloupnost konverguje stejnoměrně.
Zopakovali jsme některé vlastnosti komplexních čísel (absolutní hodnotu, vztahy pro absolutní hodnotu součinu, podílu a součtu).
Řekli jsme, co je mocninná řada v komplexním oboru, co jsou členy, střed, koeficienty mocninné řady. Odvodili jsme vzorec pro poloměr konvergence mocninné řady -- obsahuje limitu absolutní hodnoty podílu koeficientů. Dokázali jsme větu o poloměru konvergence i v situaci, kdy zmíněná limita neexistuje, [JV-K], kapitola 2 o mocninných řadách až k 2.2.6.

Přednáška 15. 3. 2019
Definovali jsme maximovou normu na prostoru spojitých funkcí na uzavřeném intervalu, [JV2], 12.4.43.
Ukázali jsme, jak podle maximové normy charakterizovat stejnoměrnou konvergenci, [JV2], 14.1.2, poznámka 1 (poznámka 2 je o bodové konvergenci a čím se liší od stejnoměrné konvergence, o tom jsme se zmínili minule).
Zamýšlely jsme se nad tím, zda jde pojem této normy využít při důkazu věty o majorantní řadě dokazované minulý týden. Nepovedlo se to a došly jsme k závěru, že to není moc dobrý nápad.
Dokázali jsme, že stejnoměrně konvergentní posloupnost spojitých funkcí má spojitou limitu, důkaz je obdobný důkazu v [JV2], věta 14.1.5, kde je udělán pro metrické prostory.

Přednáška 8. 3. 2019
Probrali jsme podkapitoly 12.7.2, 12.7.3 z [MŠ].
Probrali jsme základní pojmy řad funkcí: 1, 3 z textu o řadách funkcí.
Řekli jsme, co je stejnoměrná konvergence posloupnosti (případně řady) funkcí na zadané množině: definice 14.1.1, 14.2.1 z JV2. Dále jsme uvedli, co je bodová konvergence, [JV], poznámka 2 z 14.1.2.
Formulovali jsme a dokázali kritérium stejnoměrné konvergence řad: věta o majorantní řadě 14.3.5 z JV2.

Přednáška 1. 3. 2019
Probrali jsme kapitolu 6.3 z [JV].

Přednáška 22. 2. 2019
Zkoumali jsme aditivní funkce, speciálně nespojité případy aditivních funkcí.
Zdroje: [JV], podkapitola 6.2.

Přednáška 15. 2. 2019
Odvodili jsme součtové vzorce prostředky lineární algebry. Odvodili jsme rozdílové vzorce geometricky i prostředky lineární algebry.
Zabývali jsme se funkcionálními rovnicemi, viz [JV] věta 6.6.3, které definují goniometrické funkce. Odvodili jsme z nich Taylorův rozvoj funkcí s, c, tj ukázali jsme jednoznačnost řešení funkcionálních rovnic. Naznačili jsme souvislost goniometrických a exponenciálních funkcí v komplexním oboru a větu o existenci řešení funkcionálních rovnic jsme odložili do předmětu o funkci komplexní proměnné v příštím semestru.

Přednáška 5. 2. 2019
Zformulovali jsme a dokázali větu o limitě složené funkce, [JV], věta 4.4.1 s podmínkou (2). Vysvětlili jsme její použití na příkladech z úplného závěru textu o limitě složené funkce.