Témata přednášky z Matematické analýzy, předměty PAN1/KAN1/CAN1M v akademickém roce 2026/27

• Téma1: Funkce, jejich základní vlastnosti, aplikace vlastností
  Úvodní pracovní list: učíme se číst informace z grafů funkcí.
  Pracovní list: na kvadratické a lineárně lomené funkci se učíme propojit řešení rovnice s parametrem s vlastnostmi funkcí.
  Řešená úloha na propojení rovnice s parametrem s vlastnostmi funkcí pro podíl lineární a kvadratické funkce spolu s výkladem teoretického základu.
  Řešené úlohy na rovnice a nerovnice s odmocninou spolu s výkladem teoretického základu.
  Přehled definic vlastností funkcí (většina je porůznu roztroušená v předchozích textech, tady je máte všechny dohromady).
  
  Požadavky ke zkoušce:
  Toto téma budeme zkoušet především v písemné části, kde předpokládáme, že při zdůvodňování svých kroků vysvětlíte i teorii. Pokud bude úloha dobře spočítaná, ale nebude dostatečně vysvětleno, jakou teorii používáte, tak se vám do hodnocení písemky počítá jako správně vyřešená a u ústní zkoušky pak budete na příslušnou teorii dotázáni.
  U ústní části můžete být dotázáni na definice vlastností funkcí u témat, která se příslušné vlastnosti budou týkat.


• Téma 2: Důkazy
  Vysvětlete princip důkazu: matematickou indukcí, sporem a nepřímého důkazu a důkaz předveďte na vámi vybraném tvrzení z PAN1/KAN1/CAN1M.
  Zatím jsme probrali princip důkazu matematickou indukcí a demonstrovali jsme ho na odvození vzorce pro derivaci mocniny s přirozeným exponentem.
  
  Téma bude vyžadované jen u ústní části zkoušky: Vysvělíte princip důkazu, zformulujete tvrzení a provedete jeho důkaz.


• Téma 3: Derivace podle Newtona
  Přehled učiva: definice, neřešené úlohy, shrnutí základních vzorců
  Videa a skeny k učivu
  
  Požadavky ke zkoušce:
  V písemné části požadujeme rutinní derivování funkcí podle vzorců, znalost definice derivace a schopnost odvodit vzorec pro derivaci jednoduchých funkcí (podrobněji viz příklady k písemce), teoretická i praktická znalost rovnice tečny.
  Ústní část: definice derivace, načrtnutí přírůstků funkce na grafu funkce, odvození vzorců pro derivaci součtu, součinu a podílu, vzorce pro derivaci inverzní funkce, složené funkce, odvození vzorců pro derivaci mocniny s exponentem: pro exponenty 0, 1, -1 přímo z definice, pro přirozené číslo n pomocí matematické indukce, pro 1/n pomocí vzorce pro derivaci inverzní funkce, pro -n, -1/n pomocí derivace podílu, pro racionální exponent pomocí derivace složené funkce.
  
  Derivace je jeden z nejdůležitějších pojmů všech tří semestrů matematické analýzy, proto vaší pozornosti doporučuji tyto rozšiřující zdroje:
  Video o Newtonovi, Boltovi a derivaci z Khanovy akademie.
  Ze seriálu od 3blue1brown Essence of calculus se derivací týkají díly:
  Druhý díl: výklad derivace podle Newtona.
  Třetí díl: geometrické odvození vzorců pro derivace druhé mocniny, třetí mocniny, n-té mocniny, převrácené hodnoty, (návod pro odmocninu), sinu.
  Čtvrtý díl: vizualizace vzorců pro derivaci součinu a složené funkce.
  Pokud rozumíte slovenštině, doporučuji přednášky Zbyňka Kubáčka:
  Lesk a bída nekonečně malých
  Co bych pověděl studentům před první přednáškou z matematické analýzy


• Téma 4: Trojúhelníková nerovnost a příprava na její použití v důkazech o aritmetice limit a aritmetice spojitosti
  Učební text: https://kma.fp.tul.cz/~simunkova/analyza/an1-2026-27/Trojuhelnikova_nerovnost_text.pdf
  Na přednášce jsme pojmy motivovali úvahami o šíření chyb ve výpočtech při počítání se zaokrouhlenými čísly -- tato část zatím v textu není.
  
  Požadavky ke zkoušce:
  V písemné části nebude toto téma vyžadované.
  Ústní část: Trojúhelníková nerovnost pro dva a více sčítanců a její odvození. Odvození odhadu pro odchylku součtu a součinu.
  


• Téma 5: Posloupnosti


• Podrobnosti k dalším tématům budeme postupně zveřejňovat (spojitost funkce, limita a moderní definice derivace funkce, věty o střední hodnotě -- Rolle, Lagrange, vlastnosti spojitých funkcí, použití derivací ke zkoumání vlastností funkcí, mocninné funkce, odmocniny, polynomy, racionální funkce).