20. 12. 2023
Úlohy na dnešní cvičení

14. 12. 2023
Odvodili jsme zákon lomu z Fermatova principu. Odvození jsme udělali pomocí derivace i s použitím nekonečně malých veličin.
Podobně hledal Newton tečnu k elipse: výklad Zbyňka Kubáčka, snímek z výkladu.

Řekneme, co je polynom, stupeň polynomu, kořen polynomu, ukážeme, že polynom stupně n má nejvýše n kořenů.
Řekneme, co je racionální funkce, co je ryze lomená funkce, co jsou parciální zlomky, jak se ryze lomená funkce rozkládá na lineární kombinaci parciálních zlomků a jak to souvisí s počtem kořenů polynomu..

13. 12. 2023
Úlohy na dnešní cvičení

7. 12. 2023
Obraz intervalu, definice, příklady.
Vlastnosti spojitých funkcí: věta o obrazu uzavřeného intervalu ve spojité funkci, věta o limitě monotonní funkce, věta o spojitosti monotonní funkce.

Mocniny s přirozeným exponentem, definice, vlastnosti. Graf mocninné funkce.

6. 12. 2023
Úlohy na dnešní cvičení

30. 11. 2023
Stacinární body funkce, geometrický význam nulové derivace, lokální extrémy funkce. Lemma o derivaci a lokálním extrému s hlavní myšlenkou důkazu. Příklad funkce s extrémem bez nulové derivace (absolutní hodnota) a funkce s nulovou derivací bez extrému (třetí mocnina).
Rolleova a Lagrangeova věta o střední hodnotě i s důkazy.
Taylorův polynom stupně n, zbytek Taylorova polynomu.

29. 11. 2023
Úlohy na dnešní cvičení.

23. 11. 2023
Věta o Darbouxově vlastnosti spojité funkce: důkaz a příklad, že opačná implikace obecně neplatí.
Weierstrassova věta o nabývání extrémů. Příklady.
Definice stejnoměrné spojitosti, věty o stejnoměrné spojitosti (ze stejnoměrné spojitosti funkce na množině plyne spojitost na množině, pro uzavřené intervaly platí i opačná implikace). Zopakovali jsme implikaci a její negaci.

Použití monotonie funkce na řešení nerovnic.

22. 11. 2023
Úlohy na dnešní cvičení.

16. 11. 2023
Věta o spojitosti a aritmetických operacích. Věta o spojitosti složené funkce. Důsledek: polynomy, podíly polynomů jsou funkce spojité na svých definičních oborech, stejně tak funkce obsahující odmocniny.

Vlastnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu:
Věta o kořeni spojité funkce. Důsledek věty, použití na řešení nerovnic.
Darbouxova vlastnost (nabývání mezihodnot).
Věta o Darbouxově vlastnosti spojité funkce, příště důkaz a příklad, že opačná implikace obecně neplatí.

15. 11. 2023
Úlohy na dnešní cvičení.

9. 11. 2023
Výpočet limit ve vlastním bodě.
Spojitost funkce v bodě a na intervalu, prezentace o spojitosti.
Vztah limity a spojitosti v bodě.
Vztah derivace a spojitosti v bodě.

8. 11. 2023
Středoškolský test: aritmetická a geometrická posloupnost.
Úlohy na dnešní cvičení.

2. 11. 2023
Procvičovali jsme definici limity:
ukázali jsme, že odmocnina má v nekonečnu limitu rovnu nekonečnu; dokázali jsme větu o limitě součtu pro konečné limity a větu o limitě součinu pro součin minus nekonečna a kladného čísla.

1. 11. 2023
Středoškolský test: exponenciální rovnice.
Úlohy na dnešní cvičení.

26. 10. 2023
Vyřešili jsme úlohu 3 ze včerejšího cvičení.
Zformulovali jsme větu o monotonii a derivaci a řekli hlavní myšlenku důkazu.
Vykládali jsme limity: vysvětlovali definici, kreslili grafy, ukázali jsme použití vět na výpočet limit.
Základní definice a vztahy k limitám.

25. 10. 2023
Středoškolský test: výroky, logika, množiny.
Úlohy na dnešní cvičení.

19. 10. 2023
Ze záznamu přednášky "Lesk a bída nekonečně malých" jsme si pustili: 1. úryvek, 2. úryvek.
Pokračovali jsme ve výkladu limit. Nakreslili graf funkce (x^3-1)/(x-1) (po úpravě x^2+x+1), všimli si chybějícího bodu [1,3] na grafu a že číslo 3 je "mezní" funkční hodnota pro x o něco menší (větší) než jedna. Ke korektnějšímu výkladu jsme napsali několik definic: funkce rostoucí (klesající) na množině, horní (dolní) závora množiny, shora a zdola omezená množina, supremum (infimum) množiny. Řekli jsme, že limita monotonní funkce je supremem (infimem) množiny funkčních hodnot.
Řekli jsme (zopakovali), co je množina racionálních čísel, že je zobrazujeme na číselné ose a že množina reálných čísel odpovídá množině všech bodů na ose. Ukázali jsme, že odmocnina ze dvou není racionální číslo (použili jsme důkaz sporem).
Zformulovali jsme větu o supremu (každá neprázdná shora omezená množina reálných čísel má v R supremum). Uvedli jsme, že v množině racionálních čísel toto není pravda (množina racionálních čísel q splňujících q^2<2 nemá v Q supremum).

18. 10. 2023
Středoškolský test: rovnice přímky.

Odvodili jsme pravidla pro derivování (součin, složenou funkci, inverzní funkci, x^n pro n kladné racionální, zapomněla jsem na x^n pro n záporné a na podíl, uděláme někdy, až zbyde čas, případně dáme za úkol na cvičení).
Napsali jsme definici limity, vysvětlili ji na grafu funkce.
Probírali jsme výroky se dvěma kvantifikátory, jak se čtou, že záleží na pořadí kvantifikátorů, jak se negují, určovali jsme, zda jsou pravdivé.

17. 10. 2023
Úlohy na dnešní cvičení, u úlohy 1E jsem dodatečně změnila zadání (a=1).

12. 10. 2023
Napsali jsme vzorce pro derivace a na příkladech vysvětlovali jejich použití.
Ukázali jsme odvození vzorce pro derivaci součinu podle videa z kanálu 3Blue1Brown.

11. 10. 2023
Psali jsme test na přímou úměru, čtení textu, podobnost trojúhelníků, úlohy jsme poté rozebrali.
Ve skupinkách a poté na tabuli jsme řešili úlohy na derivace a rovnici tečny.
Pustili jsme si video o Newtonovi, Boltovi a derivaci z Khanovy akademie.

10. 10. 2023
Podle textu o derivacích z doby Newtona jsme definovali derivaci, odvozovali vzorce, počítali rovnici tečny ke grafu funkce.

27. 9. 2023
Psali jsme test na grafy funkcí a nerovnice, úlohy z testu jsme rozebrali.
Rozebírali jsme dotazník (studenti dostali za úkol dopředu shlédnout video), napsali jsme pomocí matematických symbolů definici grafu funkce a oboru hodnot funkce.
Ve zbývajícím čase jsme řešili úlohu o poloměru a obsahu hladiny a objemu pod hladinou ve výšce h v kádince.

21. 9. 2023
Spočítali jsme příklad z 2.2, [MŠ].
Počítali jsme přírůstky z 1.2.1, [MŠ].
Přírůstky objemu krychle ve videu od 3blue1brown.

20. 9. 2023
Seznámili jsme se s podmínkami pro udělení zápočtu.
Diskutovali jsme, co je funkce, co je graf funkce. Napsali jsme definici grafu funkce pomocí formálního matematického jazyka (1.1 z [MŠ]).
Rozdali jsme v papírové formě úlohy na první dvě desetiminutovky ze středoškolské matematiky (1.pdf, 2.pdf). Na příkladech z první desetiminutovky jsme ukázali, jak číst vlastnosti funkcí z grafů, na další doporučujeme shlédnout závěr videa na funkce, grafy, základní pojmy, souvislosti (12 minut) a příklad z 5.1, [MŠ].
Nakreslila jsem na tabuli tři nádoby z 2.1, [MŠ] a diskutovali jsme nad úkoly z této kapitoly.