19. 12. 2018
Řešili jsme úlohy ze vzorové písemky.

12. 12. 2018
Odvození vztahů pro exp(iz), exp(-iz) a odtud vztahy pro sin(z), cos(z).
Věta o jednoznačnosti a odvození vztahu pro exponenciálu součtu.
Odvození vztahu pro exp(x+iy).
Řešení rovnic exp(z) = ..., sin(z) = ..., cos(z) = ...

5. 12. 2018
Uvedli jsme příklady funkcí reálné proměnné: mající první derivaci a nemající druhou derivaci (x->x|x|), mající všechny derivace, ale nerovnající se, ani lokálně, součtu Taylorovy řady (x->exp(-1/x²)).
Zformulovali jsme větu o funkci f komplexní proměnné mající derivaci na otevřené množině G -- má derivace všech řádů a v každém bodě má její Taylorova řada poloměr konvergence alespoň "až k hranici" množiny G a součet Taylorovy řady je na tomto kruhu roven funkční hodnotě funkce f -- viz věta 5.5.3 z [JV-K]).
Připomněli jsme Taylorovy polynomy funkcí exp, sin, cos se středem v nule v reálném oboru, ukázali jsme, že příslušná Taylorova řada konverguje na množině reálných čísel. Pomocí Lagrangeova tvaru zbytku jsme ukázali, že součet Taylorovy řady je roven příslušné funkci.
Definovali jsme funkce exp, sin, cos v komplexním oboru pomocí Taylorovy řady.

28. 11. 2018
Dokončili jsme důkaz o poloměrech konvergence mocninné řady a její derivace člen po členu.
Začali jsme důkaz věty o derivování mocninné řady člen po členu.
K větám o mocninných řadách sepisuji text.

21. 11. 2018
Dokončili jsme důkaz věty o spojitosti mocninné řady uvnitř kruhu konvergence.
Zformulovali jsme větu o poloměru konvergence řady vzniklé derivací člen po členu a větu o derivaci mocninné řady člen po členu uvnitř kruhu konvergence. Začali jsme důkaz věty o poloměru konvergence, dokončíme příště.

14. 11. 2018
Věta o poloměru konvergence mocninné řady. Důkaz se vzorcem pro poloměr i bez vzorce.
Věta o spojitosti mocninné řady uvnitř kruhu konvergence, důkaz dokončíme příště.

7. 11. 2018
Dokázali jsme větu o Cauchy-Riemannových podmínkách. Zopakovali jsme souvislost silné derivace (totálního diferenciálu) funkce dvou proměnných s tečnou rovinou.
Uvedli jsme základní pojmy mocninných řad (co je mocninná řada, střed mocninné řady, koeficienty mocninné řady, členy mocninné řady).
Vyjmenovali jsme, co nás bude na mocninných řadách zajímat: obory konvergence a absolutní konvergence, spojitost, derivování člen po členu.
Ukázali jsme na příkladu, že limita spojitých funkcí nemusí být spojitá funkce ((sin x)²ⁿ pro n jdoucí k nekonečnu). Ukázali jsme, že nespojitost souvisí se záměnou pořadí limit (limita pro x jdoucí k pi/2 a n jdoucí k nekonečnu v jednom nebo druhém pořadí). Ukázali jsme, že derivování nekonečné řady člen po členu také souvisí se záměnou limit a tedy pravidlo pro derivaci součtu pro nekonečný součet platit nemusí.

31. 10. 2018
Zopakovali jsme silnou derivaci a Taylorův polynom prvního stupně funkce dvou proměnných. Měli jsme v plánu dokázat větu o Cauchy-Riemannových podmínkách, nepovedlo se to.

24. 10. 2018
Ukázali jsme, že absolutně konvergentní řada je konvergentní.
Definovali jsme spojitost, limitu a derivaci funkce komplexní proměnné, uvedli základní vlastnosti (věty o spojitosti, limitách a aritmetických operacích, složených funkcích, spojitost identity a konstantní funkce).
Ukázali jsme, že funkce z->z², z->1/z mají derivaci stejnou jako v reálném oboru.
Řekli jsme, co to znamená, že jsou dva metrické prostory izometricky izomorfní. Ukázali jsme, že metrické prostory (C,|.-.|) a (R²,||.-.||₂) jsou izometricky izomorfní a k výpočtu limit tedy použijeme znalosti o výpočtu limit funkce dvou proměnných.
Ukázali jsme, že funkce, která číslu přiřadí číslo komplexně sdružené nemá derivaci v žádném bodě komplexní roviny -- spočítali jsme limity po přímkách rovnoběžných s reálnou a imaginární osou a vyšly navzájem různé hodnoty.
Odvodili jsme Cauchy-Riemannovy podmínky existence derivace. Spočítali jsme několik příkladů na Cauchy-Riemannovy podmínky.

17. 10. 2018
Definovali jsme argument komplexního čísla a jeho hlavní hodnotu.
Definovali jsme dvojpoměr čtveřice navzájem různých bodů v komplexní rovině a ukázali, že dvojpoměr nabývá reálné hodnoty právě když čtveřice bodů leží na společné zobecněné kružnici.
Ukázali jsme, že zobrazení které bodu z přiřadí bod 1/z zachovává dvojpoměr. Tuto vlastnost jsme využili k dalšímu důkazu, že kruhová inverze zobrazuje zobecněnou kružnici na zobecněnou kružnici.
Zmínili jsme definici lineárně lomené funkce, že je možné ji vyjádřit jako složenou funkci z lineárních funkcí a funkce převrácené hodnoty a že díky tomu víme, že lineárně lomená funkce zachovává dvojpoměr a že zobrazuje zobecněnou kružnici na zobecněnou kružnici.
Definovali jsme limitu posloupnosti čísel v komplexním oboru, nekonečnou řadu, posloupnost částečných součtů, součet nekonečné řady. Definovali jsme absolutně konvergentní řadu. Definovali jsme Cauchyovskou posloupnost, ukázali jsme, že v komplexním oboru je posloupnost Cauchyovská právě když je konvergentní.

10. 10. 2018
Dokončili jsme výklad o kruhové inverzi: do roviny jsme přidali jeden nevlastní bod, definovali jsme zobecněnou kružnici a ukázali jsme, že kruhová inverze zobrazí zobecněnou kružnici na zobecněnou kružnici. Uvedli jsme příklad Apolloniovy úlohy, kterou lze vyřešit pomocí kruhové inverze.
Vrátili jsme se k podobnému zobrazení v rovině, definovali jsme ho a ukázali, že dvojice navzájem různých vzorů, a k nim příslušných obrazů určuje jednoznačně jedno podobné zobrazení, které zachovává pravotočivé pořadí vrcholů trojúhelníku. Pomocí poměru bodů v komplexní rovině pak lze analyticky toto zobrazení popsat.

3. 10. 2018
Probrali jsme třetí bod programu v rozsahu příkladů: Komplexní čísla a geometrie.
Ze čtvrtého bodu jsme probrali lineární funkce a podrobně rozebrali, jakému podobnému zobrazení v rovině jednotlivé lineární funkce odpovídají. Dále jsme definovali poměr bodů, vysvětlili jeho geometrický význam a ukázali, že lineární funkce zachovává poměr bodů.
Z pátého bodu jsme definovali kruhovou inverzi jako zobrazení v rovině rozšířené o jeden nevlastní bod. Řekli jsme, že přímku v rovině, ke které přidáme nevlastní bod můžeme chápat jako "zobecněnou" kružnici. Naším cílem je použít komplexní čísla k důkazu, že "zobecněná" kružnice se v kruhové inverzi zobrazí na "zobecněnou" kružnici. Zatím jsme ukázali společný zápis rovnice kružnice a přímky v komplexní rovině (viz definice 4.3.11 a poznámka 4.3.12 v textu [JV-K]).
Text o kruhové inverzi

26. 9. 2018
Probrali jsme druhý bod programu a příklady:
Rovnice (a jedna nerovnice) s komplexními čísly

19. 9. 2018
Povídali jsme si o způsobech zavedení komplexních čísel. Proč není šikovné definovat i jako odmocninu z mínus jedné, proč je lepší uvést, že i na druhou je mínus jedna.
O tom, že komplexní čísla s operacemi sčítání a násobení tvoří těleso a o tom, že bez znalosti algebry je celkem pracné to ukázat. A o tom, že bez práce toto získáme, pokud víme něco o rozšiřování okruhů, nebo kořenových nadtělesech, nebo o zbytkových třídách polynomů.
Ve spolupráci se studentkami bude postupně k této úvodní přednášce vznikat text.