Témata přednášky z analýzy funkce komplexní proměnné v akademickém roce 2026/27

1. "Jemný" úvod do komplexních čísel.
   1. Komplexní čísla s operací sčítání komplexních čísel a násobení komplexního čísla reálným číslem (C,+,.) jsou izimorfní strukturou s vektorovým prostorem R^2. Odtud například plyne, že zobrazení w = z + konstanta, w = realna_konstanta z, w = realna_konstanta z + konstanta popisují posunutí a stejnolehlost v Gaussově rovině. Čísla 1, i odpovídají v tomto izomorfismu kanonické bázi e_1, e_2 v R^2.
   2. Normovaný vektorový prostor R^2 s euklidovskou normou je izomorfní s (C,+,.), ve kterém je norma z rovna absolutní hodnotě z.
   3. Od normy odvodíme metriku a definujeme spojitost a limitu v C. Funkce zmíněné v bodě 1 (posunutí, stejnolehlost) jsou spojité. Spojitá je i funkce, která číslu z přiřadí číslo komplexně sdružené se z.
   4. Zbývá přidat násobení dvou komplexních čísel. Buď to uděláme standardním způsobem, že definujeme i^2 = -1 a přidáme požadavek distributivnosti. Druhá možnost je geometrická: otočením vektoru (x,y) o 90 stupňů v kladném směru dostaneme vektor (-y,x). Otočením o 180 stupňů, což je totéž jako otočení o 90 stupňů dvakrát za sebou, dostaneme opačný vektor -(x,y). Přirozená podmínka asociativity násobení i(iz)=(i^2)z dá vztah i^2=-1. Odtud odvodíme součin i krát (x+iy) = -y+ix.
   Tvorbu učebního textu k této kapitole s pomocí gemini sledujte na sdíleném google disku, jeho (zatím) finální verze .
   Text studentek z loňského roku., který obsahuje některé části z témat 1 a 2.
2. Komplexní čísla tvoří těleso.
   1. Ukážeme různé způsoby důkazu, že (C,+,.) splňují axiomy tělesa.
   2. Jako příklad použití axiomů budeme zkoumat pevné (samodružné) body lineárního zobrazení w = a z + b a převod předpisu zobrazení do tvaru w - s = a (z - s).
   Skoro deset let starý text studentek přepracovaný nejdříve LLM Gemini a poté mnou.
3. Lineární funkce na komplexním oboru a jejich geometrický význam.
   1. Komplexní jednotky, jejich parametrický popis, násobení komplexních jednotek.
   2. Goniometrický tvar komplexního čísla, vztah k polárním souřadnicím.
   3. Převody mezi (x,y) -- reálnou a imaginární částí a (|z|, arg(z)) -- absolutní hodnotou a argumentem.
   4. Geometrický význam funkce w = a z, závislost na hodnotě a.
   5. Geometrický význam funkce w = a z + b, závislost na hodnotách a, b.
   6. Poměr bodů (z-z_1)/(z-z_2) a jeho geometrický význam. Použití k nalezení předpisu lineární funkce pro zadanou dvojici vzorů a obrazů.
   Text studentky z loňského roku.
   Můj text o lineárních funkcích, přeformulováný pomocí LLM Gemini (verze se dost liší).