Cvičení 16. 1. 2020
Místo přednášky bude cvičení a budeme se věnovat vybraným úlohám do písemné části zkoušky.

---

Cvičení 14. 1. 2020
Probrali jsme zbylé úlohy na racionální funkce a ve zbylé čase jsme se věnovali úlohám do písemné části zkoušky.

Přednáška 9. 1. 2020
Probrali jsme další parciální zlomky.
Věnovali jsme se obrazu a vzoru intervalu ve spojité funkci.

Cvičení 7. 1. 2020
Probrali jsme úlohy pět a šest na monotonii a derivaci, úlohu jedna a část dva na racionální funkce.

Přednáška 19. 12. 2019
Dokončili jsme důkaz věty o kořeni spojité funkce. Dále jsme připomněli vlastnost nabývání mezihodnot a ukázali, že spojitá funkce tuto vlastnost má. K důkazu jsme použili větu o kořeni spojité funkce. Pomocí vlastnosti nabývání mezihodnot jsme definovali Darbouxovu vlastnost a ukázali, že spojitá fuknce tuto vlastnost má. Uvedli jsme příklad funkce, která má Darbouxovu vlastnost, ale není spojitá (vhodně rozšířená sin(1/x)).

Dále jsme se věnovali polynomům, konstatovali jsme a ukázali na příkladu, že každý polynom v reálném oboru je možné rozložit na součin polynomů stupně jedna a dva. Dále jsme řekli, co je racionální funkce (podíl polynomů), co je ryze lomená racionální funkce (podíl polynomů, kde polynom v čitateli má menší stupeň než polynom ve jmenovateli). Konstatovali jsme, že vydělením převedeme racionální funkci na součet polynomu a ryze lomené funkce.
Pak jsme vyjmenovali parciální zlomky a ukázali příklad rozkladu racionální funkce na součet parciálních zlomků. Ve jmenovateli jsme měli polynom druhého stupně s různými reálnými kořeny (další případy probereme příště).

Do konce semestru máme v plánu se ještě věnovat vlastnostem spojitých funkcí na intervalech, zejména uzavřených. A probrat rozklad na parciální zlomky pro složitější racionální funkce.

Cvičení 17. 12. 2019
Dokončili jsme první příklad z příkladů do písemky a vyřešili jsme první čtyři úlohy na monotonii a derivaci.

Přednáška 12. 12. 2019
Věnovali jsme se důsledkům Lagrangeovy věty o střední hodnotě -- větám o derivaci a monotonii (viz kapitola 5.6 z [MŠ]) a dále výpočtu derivace jako limity derivací (viz věta 7.1.2 a příklad 2 z 7.1.3 z [JV]).
Formulovali jsme větu o kořeni spojité funkce a probírali její důkaz (viz věta 4.3.32 v [JV]).

Cvičení 10. 12. 2019
Věnovali jsme se úlohám na aproximaci funkcí. Grafy ke druhému příkladu (aproximace odmocniny).

Přednáška 5. 12. 2019
Formulovali jsme a dokázali Rolleovu větu (o střední hodnotě) a Lagrangeovu větu o střední hodnotě.
Řekli jsme, co je aproximace a co je chyba (reziduum) aproximace a odvodili jsme vztah pro chybu aproximace funkce lineární funkcí (danou její tečnou).
Spočítali jsme příklad na rovnici tečny a chybu aproximace.

Cvičení 3. 12. 2019
Dokončili jsme úlohy na derivace a věnovali se úlohám na extrémy.
Doporučuji shlédnout videa o derivaci, o derivacích mocninných funkcí (mezi 1:38 a 12:40), včetně grafického znázornění (viz úlohy 6, 7), o vzorcích na derivování (derivace součinu graficky, tedy úloha 9, je mezi 7:23 a 7:34, další vzorce mezi 2:17 a 14:35).

Přednáška 28. 11. 2019
Definovali jsme lokální a globální extrémy funkce a vysvětlili, jak souvisí existence lokálního extrému s nulovou derivací. Ukázali jsme, že ani jedna z implikací: má-li funkce v bodě lokální extrém, má v něm nulovou derivaci (viz absolutní hodnota); má-li funkce v bodě nulovou derivaci, má v bodě i extrém (viz třetí mocnina); obecně neplatí. Podrobně jsme dokázali, že funkce nemůže mít lokální extrém v bodě, ve kterém má nenulovou derivaci.
Formulovali jsme Weierstrassovu větu o extrémech spojité funkce na uzavřeném intervalu. Ukázali jsme, že oba předpoklady jsou podstatné -- uvedli jsme příklad spojité funkce, která nemá extrém na otevřeném intervalu a příklad nespojité funkce, která nemá extrém na uzavřeném intervalu.
Spočítali jsme příklad na extrém spojité funkce na intervalu (extrémy dle Weierstrassovy věty existují a dle předchozího mohou být jen v krajních bodech nebo v bodech s nulovou derivací nebo v bodech, ve kterých funkce derivaci nemá).
Řekli jsme, co je obraz intervalu ve funkci (pozor, nestačí zobrazit krajní body intervalu, je třeba nalézt extrémy).

Cvičení 25. 11. 2019
Dokončili jsme úlohy z minula a z úloh na derivace jsme udělali první a druhou.

Přednáška 21. 11. 2019
Ukázali jsme, jak derivovat funkci obsahující absolutní hodnotu. Odvodili jsme vzorec pro derivaci mocninné funkce s přirozeným exponentem. Dále vzorec pro derivaci inverzní funkce (a použili ho k odvození derivace odmocniny), složené funkce (použili jsme ho k odvození vzorce pro derivaci odmocniny z mocniny), součinu (i s grafickým znázorněním), podílu. Konstatovali jsme, že pro mocninu s racionálním exponentem vypadají všechny vzorce stejně: (x^a)'=a x^(a-1). Řekli jsme, jak se počítá druhá derivace (derivace první derivace).

Cvičení 18. 11. 2019
Z limity funkcí se probraly úlohy 2, 7, 9.

Přednáška 14. 11. 2019
Probrali jsme limity v nevlastních bodech: definici a úpravy z dodatku 6.2 [MŠ].
Řekli jsme definici derivace, nakreslili obrázek a pustili si video.

Cvičení 11. 11. 2019
Probrali jsme úlohy 5, 6 a 8 na limity funkcí.
Dne 7. 11. opraveny chyby v nápovědě u příkladů 9 až 12.

Cvičení 4. 11. 2019
Probrali jsme příklad 6 z minula.
Z úloh na limity funkcí jsme probrali příklady 1, 3, 4.

Přednáška 31. 10. 2019
Řekli jsme hlavní myšlenky důkazu o spojitosti a aritmetických operacích. Použili jsme k tomu nerovnost |x+y|<=|x|+|y|, kterou jsme dokázali (nazývá se trojúhelníkovou nerovností).
Probrali jsme spojitost odmocniny a větu o spojitosti složené funkce (i s důkazem) a spočítali jsme příklad.
Definovali jsme nevlastní limity a uvedli příklad -- 1/x^2 v nule.
Definovali jsme jednostranné limity (vlastní i nevlastní) a uvedli příklad -- 1/x v nule zleva.

Přednáška 24. 10. 2019
Zopakovali jsme, co je opačná a obměněná implikace a pustili si video, které jsme nestihli minule.
Probrali jsme spojitost funkce v bodě: řekli jsme, co je okolí bodu, jak ho značíme, jak popíšeme pomocí absolutní hodnoty, definovali jsme spojitost funkce v bodě (a hodně času věnovali grafickému znázornění), formulovali jsme větu o spojitosti a aritmetických operacích, ukázali jsme, že identická a konstantní funkce jsou spojité ve všech bodech reálné osy a z věty tedy plyne, že i všechny polynomy a racionální funkce jsou spojité v bodech svých definičních oborů.
Napsali jsme definici limity funkce (vlastní ve vlastním bodě) a uvedli souvislost limity a spojitosti a spočítali několik příkladů.

Cvičení 21. 10. 2019
Probrali jsme příklady 1cd, 2c, 3 z pdf (ps) a nerovnici z příkladu 5 z téhož souboru pomocí úprav (tedy jinou metodou než nabývání mezihodnot). Nestihli jsme příklad 6.
Dále jsme probrali příklady 12ab z pdf.

Přednáška 17. 10. 2019
Vysvětlili jsme pojmy přírůstek funkce a derivace na funkcích druhá a třetí mocnina.
Zopakovali jsme, co je zúžená funkce. Funkci z minulé přednášky (tu, co číslu x přiřadí číslo (x^2+3x+4)/(x^2-1)) jsme zúžili tak, aby měla inverzní funkci a na této inverzní funkci jsme ukázali, jak krátíme kořenovým činitelem výrazy s odmocninami (více viz dodatek 6.2.1 z [MŠ]).
Řešili jsme nerovnici s odmocninou a ukázali jsme, že umocňování není bez dalších podmínek korektní operací. Zopakovali jsme, že druhá mocnina je rostoucí na množině nezáporných čísel, a tuto vlastnost jsme vyjádřili implikací. Ukázali jsme, že platí i opačná implikace (přitom jsme uvedli, co je opačná a co obměněná implikace) a tedy pro nezáporné strany nerovnice je umocňování ekvivalentní úpravou. Měli jsme v plánu shlédnout níže uvedené video, ale nestihli jsme.
Zdroje: [MŠ-N] (text o nerovnicích), video s vysvětlením implikace mezi 2:57 a 5:15, z úvodní kapitoly [MŠ] povídání o derivacích (1.6, 1.7), z dodatku tamtéž část 6.1.2.

Cvičení 14. 10. 2019
Věnovali jsme se příkladům 1ab, 2ab, 4, 5 z pdf (ps). Dále jsme se věnovali příkladům z minulého týdne: ukázali jsme řešení příkladu 8 vyvěšené na webu a řešili jsme příklady 9 až 11.

Přednáška 10. 10. 2019
Vyřešili jsme úlohu 12 z příkladů na poslední cvičení pro funkci, která číslu x přiřadí číslo (x^2+3x+4)/(x^2-1). Při kreslení grafů jsme zformulovali důležitou vlastnost spojitých funkcí -- vlastnost nabývání mezihodnot a použili jsme ji.
Vysvětlili jsme, jak používáme vlastnost nabývání mezihodnot na řešení nerovnic a vyřešili jsme dvě nerovnice s odmocninou z [MŠ-N].
Zdroje: [MŠ-N] (text o nerovnicích), [MŠ], kapitoly 3.2 až 3.4.1.

Cvičení 7. 10. 2019
Seznámili jsme se s podmínkami pro získání zápočtu.
Věnovali jsme se příkladům 1 až 7 z pdf, ps (dva soubory se stejnými příklady).

Přednáška 3. 10. 2019
Řekli jsme, čím se liší mocninná funkce na množině racionálních a reálných čísel. Vysvětlili jsme souvislost mezi reálnými čísly a body na ose (vzájemně jednoznačné zobrazení). Dále jsme diskutovali, že mezi reálnýmí čísly a jejich desetinnými rozvoji není vzájemně jednoznačné zobrazení (číslo jedna má dva různé desetinné rozvoje).
Definovali jsme n-tou odmocninu z nezáporného čísla.
Prošli jsme podrobně příklady z [MŠ], kapitola 3.1.
Zdroje: [MŠ], kapitola o aritmetice a funkcích 2.1.5 až 2.2, cvičení z kapitoly 3.1.

Přednáška 30. 9. 2019
Povídali jsme si o funkcích, zopakovali některé pojmy (graf funkce, sudá, lichá funkce, obor hodnot funkce, monotonní funkce), zopakovali jsme, co je mocnnná funkce, nakreslili grafy, ukázali jsme, že třetí mocnina je rostoucí funkcí na množině reálných čísel. Ukazovali jsme, že druhá mocnina je spojitá funkce.
Zdroje: [MŠ], úvodní kapitola 1.1 až 1.3, kapitola o aritmetice a funkcích 2.1 až 2.1.5.