20. září 2024
Definice komplexních čísel jako struktury se dvěma binárními operacemi a důkaz, že tato struktura je komutativním tělesem:
strany 12 -- 14 (elektronicky 18 -- 20) textu kolegy Veselého,
text sepsaný studentkami podle mojí přednášky.
Přehled dalších operací s komplexními čísly a jejich vlastností (na hodině důkazy některých vlastností předvedeme).
27. září 2024
První úlohy
Nápovědou k úloze 11 na grafické znázornění jsou úlohy 12 až 14.
Analogie úloh 12, 13 v
desmosu.
Analogie úlohy 14 v desmosu,
na obrázku 4.2 v textu J. Veselého.
Přechodem k argumentu a absolutní hodnotě dostaneme obrázky
(z-1)/(z^2+z+1),
sinus.
Mluvili jsme o vztahu lineární funkce komplexní proměnné k podobným zobrazením v rovině.
Více bude později,
viz text.
4. října 2024
Definice spojitosti funkce komplexní proměnné.
Komplexní sféra: rozšíření o nekonečno (jedno, komplexní, není tedy plus a minus nekonečno), okolí nekonečna, spojitost funkce v bodě nekonečno.
Ukázali jsme, že funkci f(z)=1/z lze rozšířit na komplexní sféru a toto rozšíření je spojitá funkce (počítali jsme delty k epsilonům).
Definovali jsme některé aritmetické operace s nekonečny, řekli, které definovat nebudeme.
Zformulovali jsme větu o spojitosti a aritmetických operacích.
Ukázali jsme, že polynomy stupně alespoň jedna lze spojitě rozšířit na komplexní sféru.
Zformulovali jsme základní větu algebry a dokazovali jsme ji.
Více v textu Jiřího Veselého, kapitola 1.2 až 1.4.
11. října 2024
Dokončíme důkaz základní věty algebry dle
textu z předloňska.
Obrazy kružnic v desmosu.
Při důkazu použijeme argument komplexního čísla
(definice argumentu).
Napíšeme předpis pro spojitou větev argumentu v jednotlivých souřadných polorovinách (x>0, x<0, y>0, y<0).
Pracovní verze
textu ke spojitosti funkce komplexní proměnné a důkazu základní věty algebry.
18. října 2024
Ještě jsme se vrátili k důkazu základní věty algebry.
Probírali jsme derivace funkce komplexní proměnné dle
textu.
25. října 2024
Z textu o derivaci podle komplexní proměnné
jsme probrali důkaz nutné a postačující podmínky existence derivace a Ještě jeden pohled na derivaci jako lineární zobrazení.
Dle textu o holomorfních funkcích
jsme definovali funkci holomorfní na otevřené množině.
Zformulovali jsme větu o holomorfní funkci
(v textu Jiřího Veselého věta 5.9.8 a z ní jen podmínky 1, 5).
Dokázali jsme, že funkce holomorfní na G je na G spojitá, má na G primitivní funkci.
Udělali jsme příklad: v nenulovém bodě z jsme rovnoběžky s reálnou a imaginární osou (jsou kolmé) zobrazili funkcí f(z)=z^2
a ukázali, že se zobrazí na kolmé křivky.
1. listopadu 2024
Dokončíme příklad z minula, podíváme se, jak situace vypadá pro z=0. Proberem příklad pro obecnou holomorfní funkci.
Dle textu o transcendentních funkcích
zopakujeme Taylorovy řady funkcí exp, sin, cos v reálném oboru a použijeme je k definici těchto funkcí v komplexním oboru,
odvodíme Eulerův vztah.
Budeme chtít vzorce známé z reálného oboru používat v komplexním oboru.
Ukážeme, jak jejich platnost dokážeme s použitím věty o holomorfních funkcích.
Ukážeme, jak se řeší rovnice s transcendentní funkcí v komplexním oboru.
Další plán:
Podrobněji o lineární funkci a podobném zobrazení v rovině.
Video, prezentace, sken:
Rozklad reálného polynomu na součin polynomů stupně nejvýše dva.
Důkaz základní věty algebry (jiný než výše).
Příklady k přípravě na zkoušku.
Materiály z doby online výuky.
Především videa.