Přednáška 20. 12. 2018
Vyřešíme příklady 18, 23, 23b a připomeneme souvislost s monotonií v příkladu 2 ze vzorové písemky. Ve zbylém čase se budeme věnovat dalším příkladům ze vzorové písemky dle výběru studentů.

Cvičení 17. 12. 2018
Úlohy na vzory a parciální zlomky.
Zbyde-li čas, věnujte se příkladům ze vzorové písemky.
Přednáška 13. 12. 2018
Počet kořenů polynomu: polynom má nejvýše tolik kořenů jako je jeho stupeň, výjimkou je nulový polynom, jehož kořeny jsou všechna reálná čísla.
Definice racionálně lomené funkce a ryze lomené funkce (je zvykem mluvit o funkci i když máme často na mysli výraz a ne funkci). Definice parciálních zlomků.
Věta o vyjádření racionální funkce jako součtu polynomu (v případě ryze lomené funkce nulového) a lineární kombinace parciálních zlomků. Z důkazu jen: chceme, aby rovnost platila pro všechna x, pro něž jsou výrazy definované (tedy kromě kořenů jmenovatele) a odtud dostaneme rovnost koeficientů u stejných mocnin (viz výše zmiňovaný počet kořenů polynomu); počet parciálních zlomků je stejný jako stupeň jmenovatele, proto dostaneme soustavu se čtvercovou maticí; z lineární nezávislosti parciálních zlomků plyne, že má soustava právě jedno řešení. Chci, abyste byli schopni tyto úvahy vysvětlit při řešení konkrétních příkladů.

Cvičení 10. 12. 2018
Úlohy na komplexní čísla a polynomy.

Přednáška 6. 12. 2018
Mocninné funkce (s přirozeným exponentem) -- definice, grafy, sudost, lichost, obor hodnot, monotonie. Definice odmocnin.
Komplexní čísla, reálná, imaginární část, komplexně sdružené číslo, vlastnosti.
Polynomy, kořeny, dvojice komplexně sdružených kořenů polynomu s reálnými koeficienty. Stupeň (řád) polynomu. Rozklad polynomu na součin polynomů, nerozložitelné polynomy v reálném a komplexním oboru. Rozklad polynomu na součin nerozložitelných polynomů.

Cvičení 3. 12. 2018
Příklady z minula, které se nestihly.
Příklady na Taylorův polynom.

Přednáška 29. 11. 2018
Nekonečně malé veličiny a derivace -- exkurze do historie a na Khanovu akademii.
Taylorův polynom, zbytek Taylorova polynomu, věta o Lagrangeově tvaru zbytku Taylorova polynomu.

Cvičení 26. 11. 2018
Příklady z minula, které se nestihly.
Z loňské vzorové písemky: z příkladů 14, 14b obraz I1, příklad 15.
U příkladu 15 použijte, že funkce je na nějaké množině klesající právě když je na té množině opačná funkce rostoucí.

Přednáška 22. 11. 2018
Důkaz věty o Lagrangeově tvaru zbytku lineární lokální aproximace.
Lagrangeova věta o střední hodnotě s důkazem.
Věty o derivaci a monotonii s důkazem.

Cvičení 19. 11. 2018
Příklady 10 až 12 z Funkce_spojitost_limita_ulohy.pdf.
Příklady z Derivace_funkce_ulohy.pdf.

Přednáška 15. 11. 2018
Věta o derivaci a lokálních extrémech i s důkazem.
Rovnice tečny, tečna jako lokální lineární aproximace funkce. Příklad.
Rolleova věta o střední hodnotě i s důkazem.
Lagrangeův tvar zbytku (chyby lokální aproximace), zatím bez důkazu. Použití Lagrangeova tvaru zbytku na odhad chyby aproximace. Použití Lagrangeova tvaru zbytku na určení polohy tečny a grafu funkce.

Cvičení 12. 11. 2018
Spočítali jsme příklady 6 až 9 z Funkce_spojitost_limita_ulohy.pdf.

Přednáška 8. 11. 2018
Definovali jsme derivaci funkce v bodě, oboustrannou i jednostranné, zopakovali jsme, co je přírůstek proměnné, přírůstek funkce.
Počítali jsme derivace přímo z definice.
Odvodili jsme vzorce pro derivaci: součtu, násobku (uvedli jsme souvislost s lineárním zobrazením na vektorových prostorech), součinu, podílu. Uvedli jsme vzorec pro derivaci složené funkce a naznačili jeho odvození.
Věta o spojitosti funkce v bodě, ve kterém má funkce konečnou derivaci.
Spočítání několika příkladů.

Cvičení 5. 11. 2018
Spočítali jsme příklady 1 až 5 z Funkce_spojitost_limita_ulohy.pdf.

Přednáška 1. 11. 2018
Studenti dostali seznam definic limit funkce Limity_okoli_prehled.pdf.
Definovali jsme okolí bodu, prstencové okolí, pravé a levé okolí, nakreslili obrázky.
Definici limity jsme vysvětlili na příkladu funkcí x->1/x2, x->1/x.
Spočítali jsme několik příkladů na limity, jednostranné limity, spojité rozšíření.

Přednáška 29. 10. 2018 (výjimečně je místo cvičení přednáška; místo poslední přednášky budeme počítat příklady ze vzorové písemky)
Dokončili jsme důkaz o kořeni spojité funkce.
Ukázali jsme použití věty o kořeni spojité funkce na řešení nerovnice.
Formulovali jsme a dokázali větu o limitě posloupnosti a spojité funkci, [JV] lemma 4.2.6. Zapomněla jsem na důsledek 4.2.7. -- udělám příště, na základě důsledku ukážeme, že funkci, která x přiřadí sin(1/x) nelze spojitě rozšířit do nuly.
Definovali jsme jednostrannou spojitost a spojitost na intervalu, [JV] 4.2.19, 4.3.23, 4.3.26.
Formulovali jsme Weierstrassovu větu o extrémech spojité funkce na intervalu, nedokazovali jsme ji, uvedli jsme příklady ukazující, že oba předpoklady (spojitost funkce a uzavřenost intervalu) jsou pro platnost věty podstatné.
Formulovali jsme a dokázali větu o obrazu uzavřeného intervalu ve spojité funkci. Použili jsme ji k výpočtu obrazu intervalu z grafu funkce.

Přednáška 25. 10. 2018
Definovali jsme spojitost funkce v bodě. Ukázali jsme, že konstantní funkce a identita jsou spojité ve všech reálných číslech. [JV] definice 4.2.1, symbol U okolí je vysvětlen nahoře, nebo viz definice 2.1.4; příklad 4.2.5.
Nakreslili jsme graf s nespojitostí typu skoku, znegovali jsme výrok o spojitosti a ukázali na grafu platnost této negace.
Zformulovali jsme větu o spojitosti a aritmetických operacích a uvedli hlavní myšlenku důkazu, [JV] lemma 4.2.10 o spojitosti součtu (důkaz jsme dělali jako zde), věta 4.2.13 (udělali jsme důkaz pro součin, ale jinak než zde -- použili jsme úpravu (2.6) ze str. 57 pro |f(x)g(x)-f(x0)g(x0)|).
Důsledkem této věty je spojitost polynomů (jiný název pro mnohočleny).
Zformulovali jsme a téměř dokázali větu o kořeni spojité funkce, [JV] věta 4.3.32, dokončení důkazu bude příště.

Cvičení 22. 10. 2018
Proberali jsme úlohy č. 4, 8 -- 12 z úloh o posloupnostech.
Zdroje: viz minulé cvičení.

Přednáška 18. 10. 2018
Dokázali jsme větu o konečné (vlastní) limitě posloupnosti a odmocnině, [MŠ] 4.9.
Ukázali jsme, že geometrická posloupnost s kvocientem z intervalu (-1,1) má nulovou limitu. Ukázali jsme to dvěma způsoby. V prvním způsobu jsme použili logaritmování nerovnosti, ve druhém odhad plynoucí z binomické věty, [MŠ] 4.2, úvod k 4.3.
Definovali jsme nevlastní limity, operace s nekonečny a formulovali jsme větu o limitách a aritmetických operacích, [JV] definice 2.2.2, 2.3.4, vvěta 2.3.5.
Ukázali jsme, že posloupnosti an=n, an=odmocnina(n) mají limitu plus nekonečno.
Formulovali jsme a dokázali větu o nevlastní limitě a odmocnině.
Definovali jsme Cauchyovskou (čteme Kóšiovská) posloupnost, formulovali jsme větu o Cauchyovské a konvergentní posloupnosti, [JV], definice 2.4.6, věta 2.4.8.

Cvičení 15. 10. 2018
Probrali jsme úlohy č. 1, 2, 3, 5, 6, 7 z úloh o posloupnostech. Úlohu 1a jsme nepočítali ručně, studenti spočítali doma s pomocí vhodného software.
Zdroje:
Příklad 1: [JV] 2.4.15 až 2.4.17, [MŠ], závěr dodatku o ag nerovnosti.
Příklady 3, 4: [MŠ] 4.2, začátek 4.3, příklad 11 udělejte obdobně jako příklad 4.
Příklady 5 -- 7: [MŠ] 4.6.
Příklady 8, 12: [MŠ] 4.10.
Příklad 9: podobná úprava jako v příkladech 5 -- 7 a použití limity geometrické posloupnosti s kvocientem z (-1,1).

Přednáška 11. 10. 2018
Řekli jsme, co jsou posloupnosti, jak se značí, co je to rekurentně zadaná posloupnost. Uvedli jsme příklady posloupností, jejich grafů a výpočtu jejich členů. [JV], úvod kapitoly 2 až k poznámce 2.1.3.
Uvedli jsme definici limity posloupnosti a vysvětlili ji na grafu posloupnosti. Řekli jsme, že posloupnost, která má (konečnou) limitu, budeme nazývat konvergentní. [JV], 2.1.4 až 2.1.7, [MŠ], 4.3.
Ukázali jsme, že konstantní posloupnost má limitu. [JV], 2.1.13.
Ukázali jsme, že limita posloupnosti je daná jednoznačně, důkaz jsme provedli obrázkem. [JV], 2.1.9, 2.1.10.
Řekli jsme, co jsou to monotonní posloupnosti, co jsou omezené posloupnosti a formulovali větu o existenci limity omezené monotonní posloupnosti. Uvedli jsme hlavní myšlenku důkazu -- limita je pro rostoucí a neklesající posloupnost supremem množiny členů posloupnosti, pro klesající a nerostoucí posloupnost infimem (největší dolní závorou) množiny členů posloupnosti. Podrobnosti důkazu jsme udělali na příkladě klesající posloupnosti s n-tým členem rovným 1/n. [JV], 2.1.19, 2.1.20, [MŠ], 4.2, začátek 4.3.
Zformulovali jsme větu o limitách posloupností a aritmetických operacích, důkaz jsme zatím z časových důvodů odložili. Větu jsme použili k výpočtu limit posloupností. [JV], 2.1.22, 2.1.30.
Větu o limitách a aritmetických operacích jsme použili k důkazu existence odmocniny. [JV], 2.4.15 až 2.4.17.
Zformulovali jsme větu o limitě "odmocniny z konvergentní posloupnosti" a ukázali její použití na příkladě. Důkaz jsme zatím odložili. [MŠ], 4.9.

Cvičení 8. 10. 2018
Vyřešili jsme úlohu č. 13 z minulého týdne a z úloh na tento týden č. 1 až 5.
Zdroje:
Dodatky o binomické větě a o ag nerovnosti v [MŠ].

Přednáška 4. 10. 2018
Vysvětlili jsme proč výroky "každé racionální číslo má periodický desetinný rozvoj" a "každé číslo s periodickým desetinným rozvojem lze převést na racionální číslo" neříkají totéž.
Vysvětlili jsme, proč pro reálná čísla l, p nejsou obecně výroky l=p a l2=p2 ekvivalentní a řekli souvislost s umocňováním coby neekvivalentní úpravou.
Dokázali jsme binomickou větu, vysvětlili, co je Pascalův trojúhelník a ukázali, že čísla v Pascalově trojúhelníku jsou kombinační čísla.
Formulovali jsme ag nerovnost (nerovnost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem) a uvedli hlavní myšlenky důkazu.
Letos vynecháme kapitolu o logice, výrocích a množinách a budeme se těmto tématům věnovat průběžně. Zájemce odkazujeme na text [MŠ-L].

Cvičení 1. 10. 2018
Z úloh z čísel jsme probrali úlohy 1 -- 9 a 14 -- 15. Úlohu 15 dostali studenti (až na dvě výjimky) za úkol vypracovat písemně. Součást písemného vypracování je i slovní komentář.
Zdroje: strany 20 až 27 textu Jiřího Veselého [JV], kapitola o číslech z [MŠ], sedmá část z textu o nerovnicích [MŠ-N].

Přednáška 27. 9. 2018
Zopakovali jsme si, co jsou přirozená, celá a racionální čísla a jak je zobrazujeme na číselné ose. Odvodili jsme Pythagorovu větu, ze které pro délku úhlopříčky čtverce o straně délky jedna plyne u2=2 a ukázali jsme, že žádné racionální číslo tento vztah nesplňuje (použili jsme důkaz sporem).
Řekli jsme, že množinu reálných čísel můžeme charakterizovat třemi způsoby: jako body na číselné ose, každému bodu odpovídá právě jedno číslo a každému číslu odpovídá právě jeden bod; jako matematickou strukturu se dvěma operacemi a jednou relací splňující 13 axiomů (na stranách 20, 21, 25 textu Jiřího Veselého [JV]) a jako desetinné rozvoje (k tomu jsme nestihli podrobnosti, něco napravíme na příštím cvičení).
Na axiomy 1 až 12 jsme udělali příklad z kapitoly o číslech z [MŠ].
Podrobně jsme probrali axiom 13, nejdřív jsme definovali horní závoru (horní odhad), supremum, shora omezenou množinu a vysvětlili jsme tyto pojmy na příkladech. Ukázali jsme, že maximální prvek množiny je jejím suprémem a uvedli jsme příklad množiny (otevřený omezený interval), která nemá maximální prvek, ale má supremum.
Definovali jsme druhou odmocninu a na grafu druhé mocniny jsme ukázali souvislost existence odmocniny a axiomu suprema.
Bez důkazu jsme konstatovali, že pro nezáporná čísla a, b je výrok a< b ekvivalentní s výrokem a2< b2. Použili jsme toto tvrzení na řešení nerovnice s odmocninou.

Cvičení 24. 9. 2018
Probrali jsme úlohy z grafů funkcí.
Zdroje: úvodní kapitola a dodatek o rovnici přímky z [MŠ].

Přednáška 20. 9. 2018
Seznámili jsme se s podmínkami pro získání zápočtu.
Povídali jsme si o funkcích v rozsahu úvodní kapitoly [MŠ].