Cvičení 7. a 10. 5. 2019
Probrali jsme příklady 6 až 9 z úloh II na integrály a ve zbylém čase jsme se věnovali příkladům ze vzorové písemky.

Přednáška 3. 5. 2019
Zopakovali jsme příklady funkcí, které mají/nemají derivaci, mají/nemají primitivní funkci.
Řekli jsme, že funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu riemannovsky integrovatelná a Riemannův integrál s proměnnou horní mezí ze spojité funkce je její primitivní funkcí. Na obrázcích jsme ukázali hlavní myšlenky důkazů těchto tvrzení. Zmínili jsme se, že v důkazu riemannovské integrovatelnosti spojité funkce je podstatné, že v definici spojitosti delta závisí na epsilon, ale nezávisí na x.
Jako důsledek výše uvedeného tvrzení jsme konstatovali, že pro funkci spojitou na uzavřeném intervalu existuje Riemannův i Newtonův integrál a mají stejné hodnoty.

Cvičení 30. 4. 2019
Věnovali jsme se úlohám 1 až 5 z úloh II na integrály.

Přednáška 26. 4. 2019
Probrali jsme obsah rovinných útvarů a z Riemannova integrálu jsme stihli definici a vysvětlili jsme ji na příkladech.

Přednáška 23. 4.
Věnovali jsme se geometrickým aplikacím integrálu. Řekli jsme si, jak se počítá obsah obrazce pod grafem funkce, mezi grafy dvou funkcí, jak se počítá délka křivky, objem rotačně symetrického tělesa, těžiště rovinného obrazce v rozsahu textu Geometrické aplikace integrálu.

Cvičení 16. 4. 2019
Probrali jsme úlohy 9 až 12 z úloh na integrály.

Přednáška 5. 4. 2019
Formulace a hlavní myšlenka důkazu věty o substituci v Newtonově integrálu s inverzní funkcí, příklad z podkapitoly 13.7. o lepení (lepení samotné jsme zatím neprobrali, jen substituci ve zde uvedeném integrálu) a ještě příklad na integrál odmocniny z kvadratické funkce (se substituční funkcí podobnou příkladu z podkapitoly 4.5 probrané v závěru zimního semestru).
Formulace věty o substituci v Newtonově integrálu bez požadavku inverzní funkce a několik příkladů.

Cvičení 9. 4. 2019
Úlohy 1b 3 až 6, 7 úloh na integrály. Úlohu 1c dostali studenti k písemnému vypracování.

Přednáška 5. 4. 2019
Integrace parciálních zlomků bez reálných kořenů ve jmenovateli, s kořeny jedno i vícenásobnými. Stručná zmínka o rekurentní formuli, integrace bez rekurentní formule. [MŠ] závěr podkapitoly 13.4.4.
Definice a vlastnosti Newtonova určitého integrálu, [MŠ] úvod podkapitoly 13.5.
Substituce v Newtonově integrálu: zopakovali jsme větu o derivaci složené funkce ([MŠ], začátek podkapitoly 13.5.1), a probrali příklad na substituci (podobný příkladu na straně 189--190 z [MŠ]).

Cvičení 2. 4. 2019
Věnovali jsme se úloze 1a, 2 z úloh na integrály.

Přednáška 29. 3. 2019
Ukázali jsme, co plyne pro řady z vět o limitách posloupností a aritmetických operacích a jak se změní posloupnost částečných součtů řady, do níž vložíme nulové členy. Poté jsme znovu rozebrali příklady na nekonečné součty z úvodu kapitoly o řadách a řekli, které úvahy jsou a které nejsou korektní.
Na příkladech kvadratické a lineární funkce jsme přiblížili základní pojmy integrálního počtu (primitivní funkci, Newtonův integrál, Riemannův integrál).
Definovali jsme primitivní funkci na intervalu, ukázali, že je jednoznačná až na aditivní konstantu. Seznámili jsme se s pojmem neurčitého integrálu a na příkladu funkce "1/x" jsme vysvětlili, co je nešikovného na značení s "fajfkou".
Odvodili jsme základní vzorce pro primitivní funkce a vzorec pro lineární substitucii, spočítali několik příkladů.
Odvodili jsme vzorec pro integraci per partes a spočítali několik příkladů.

Cvičení 26. 3. 2019
Dokončili jsme sedmou a udělali osmou a devátou úlohu na řady.
Uvedli jsme mocninné řady (proměnné x), jejichž součet je pro libovolné reálné x roven sin x, cos x.

Přednáška 22. 3. 2019
Definovali jsme absolutní konvergenci řad. Ukázali jsme, že absolutně konvergentní řada je konvergentní (zopakovali jsme si přitom, co je to Cauchyovská posloupnost), ale opak obecně neplatí. Řadu, která je konvergentní, ale není absolutně konvergentní, nazýváme neabsolutně konvergentní řadou.
Řekli jsme, co je přerovnání řady. Konstatovali jsme (bez důkazu), že absolutně konvergentní řada nezmění po přerovnání součet, ale neabsolutně konvergentní řada ho změnit může, dokonce ke každé neabsolutně konvergentní řadě a každému součtu existuje přerovnání této řady s tímto součtem.
Zformulovali jsme a dokázali podílové a limitní podílové kritérium konvergence řad s kladnými členy. V důkazu jsme použili úlohu 4 z úloh na řady.
Věnovali jsme se součtu řady převrácených hodnot faktoriálů nezáporných celých čísel. K získání jejího součtu jsme použili Taylorův polynom exponenciální funkce. Později použijeme Lagrangeův tvar zbytku Taylorova polynomu k ukázání, že součet výše zmíněné řady je roven Eulerovu číslu.

Cvičení 19. 3. 2019
Probrali jsme úlohy 1 až 6 z úloh na řady.

Přednáška 15. 3. 2019
Dokončíli jsme důkaz limitního srovnávacího kritéria.
Udělali jsme dvě poznámky k řadám: Existence součtu a jeho konečnost (tedy konvergence řady) nezávisí na hodnotách konečného počtu členů, tj. změníme-li hodnotu konečného počtu členů řady, změní se pravděpodobně jeho součet, ale nezmění se to, zda součet má a zda je konvergentní; Řada s nezápornými členy má neklesající posloupnost částečných součtů a má tedy součet (používáme větu o existenci limity monotonní posloupnosti).
Vyložili jsme, co jsou poziční soustavy, speciálně jsme se věnovali dvojkové soustavě.
Ukázali jsme, že řada 1-1/2+1/3-1/4+1/5... konverguje a zformulovali jsme Leibnizovo kritérium konvergence řad se střídavými znaménky. K důkazu jsme řekli, že ekvivalenci dokazujeme jako dvě implikace. Jedna z nich se dokáže stejně jako ve výše uvedeném příkladu. Druhá implikace je totožná s nutnou podmínkou konvergence.

Cvičení 12. 3. 2019
Věnovali jsme se příkladům z úloh na exponenciální a logaritmické funkce.

Přednáška 8. 3. 2019
Vyložili jsme základní pojmy nekonečných řad: co jsou členy řady, částečné součty řady, co znamená, že má řada součet, co znamená, že konverguje a čemu je roven součet řady.
Řekli jsme, co je harmonická řada a ukázali, jaký má součet.
Odvodili jsme vzorec pro součet konečné a nekonečné geometrické řady.
Spočítali jsme součet teleskopické řady (1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + ...
Formulovali jsme a dokázali tvrzení o nutné podmínce konvergence.
Formulovali jsme a dokázali srovnávací kritérium konvergence řad s nezápornými členy a ukázali jsme pomocí něj konvergenci řady 1+1/4+1/9+1/16+...
Formulovali jsme limitní srovnávací kritérium konvergence řady s kladnými členy a udělali část důkazu.

Cvičení 5. 3. 2019
Udělali jsme příklad 15 na goniometrické funkce a úlohy 1 až 3, 5 až 9 z úloh na exponenciální a logaritmické funkce.
V závěru cvičení jsme probrali dva příklady na úpravy nekonečných součtů, které varují, že není možné bezmyšlenkovitě používat pravidla pro konečné součty, viz [MŠ], úvod ke kapitole 12 o řadách.

Přednáška 1. 3. 2019
Zopakovali jsme vlastnosti exponenciály (tj. exponenciální funkce, jejíž základ je Eulerovo číslo). Definovali jsme logaritmus jako inverzní funkci k exponenciále (upozorňujeme, že v matematické literatuře je tento logaritmus značen log, tedy jinak než na střední škole). Z vlastností exponenciály jsme odvodili vlastnosti logaritmu, odvodili jsme dvě základní limity a dvěmi způsoby jsme odvodili vzorec pro derivaci logaritmu. Ukázali jsme, že inverzní funkce k rostoucí funkci je také rostoucí.
Ve stručnosti a bez důkazu jsme probrali L'Hospitalovo pravidlo a spočítali několik příkladů.

Cvičení 26. 2. 2019
Moc jsme toho nestihli. Z úloh na cyklometrické funkce jsme probrali úlohy 10, 11, 12a. Na úlohy z exponenciálních a logaritmických funkcí vůbec nedošlo.

Přednáška 22. 2. 2019
Ukázali jsme ještě jeden pohled na poslední příklad z posledního cvičení (první příklad z úlohy 10).
Ukázali jsme, že limity ze závěru úvodu kapitoly 9 pro sinus, tangens, arkussinus, arkustangens mají význam derivace v bodě nula.
Probrali jsme podkapitolu 9.1. Z podkapitoly 9.2 jsme probrali úvod, tedy terminologii (co je mocninná a co exponenciální funkce) a konstatovali jsme, že pro racionální exponenty jsme exponenciální funkci definovali v podkapitole 9.1. a pro iracionální exponenty ji definujeme jako spojité rozšíření. Dále podkapitolu 9.2.1, tedy význam exponenciální funkce, která má za základ Eulerovo číslo. Z podkapitoly 9.2.2 jen funkcionální rovnici a pár poznámek -- v podstatě to, co je uvedeno na straně 121. Dále jsme probrali podkapitoly 9.2.5 o derivaci exponenciální funkce a 9.2.6 o vlastnostech exponenciální funkce.

Cvičení 19. 2. 2019
Z úloh na goniometrické a cyklometrické funkce (viz odkaz z minulého cvičení) jsme spočítali úlohy 1, 2, 7, 8, 9b, 9c a první úlohu z 10.

Přednáška 15. 2. 2019
Stručně jsme se zmínili o funkcionální definici goniometrických funkcí.
Definovali jsme cyklometrické funkce arkussinus, arkuskosinus, arkustangens, nakreslili jejich grafy, odvodili vzorce pro jejich derivace. Pro funkci arkuskotangens jsme nakreslili graf a řekli limity v nekonečnech.
Řekli jsme si, které funkční hodnoty mohou ovlivnit hodnotu limity (hodnoty v prstencovém okolí), které ovlivní spojitost (hodnoty v plném okolí), které ovlivní hodnoty derivace (hodnoty v plném okolí, limita obsahuje funkční hodnotu v bodě, ke kterému se blížíme).
Vrátili jsme se k příkladu 9a z minulého cvičení a konstatovali jsme, že funkce f₁ je spojitá, ale její derivace není.
Řekli jsme si o výpočtu limity složené funkce (substituce v limitě), spočítali několik příkladů, viz text o limitě složené funkce (odkaz dole). Ze tří příkladů, které josu v tomto textu úplně dole jsme vysvětlili první a druhý.
Dali jsme si za úkol přemýšlet, odkud se vzaly vztahy pro mocniny se záporným a neceločíselným exponentem.
Zdroje: [MŠ], 9.5 cyklometrické funkce, 7.2 limita složené funkce, 9.1 mocniny, text o limitě složené funkce.

Cvičení 12. 2. 2019
Probírali jsme z úloh o goniometrických a cyklometrických funkcí 3, 4, 5, 6, 9a, první a poslední z 11 a začali 14.

Přednáška 8. 2. 2019
Rozdali jsme si devátou kapitolu učebního textu.
Definovali jsme goniometrické funkce na pravoúhlém trojúhelníku a definici rozšířili na množinu reálných čísel pomocí jednotkové kružnice.
Odvodili jsme součtové vzorce pro sinus a kosinus.
Odvodili jsme limitu podílu sin x/x pro x jdoucí k nule. Spočítali jsme několik dalších limit používajících tuto limitu a substituci v limitě.
Odvodili jsme vzorce pro derivace goniometrických funkcí.
Z vlastností 1 až 13 z 9.4.3 jsme odvodili 1 až 10.
Zdroje: [MŠ], 9.4 goniometrické funkce, 21 dodatek -- odvození součtových vzorců.

Cvičení 5. 2. 2019
Řekli jsme si, za co dostanou studenti zápočet. Je to přiměřená aktivita při cvičeních. Příklady, které budeme na cvičení počítat budou známy s týdenním předstihem. Další podmínkou je odevzdat přiměřené množství příkladů písemně zpracovaných. Napíšu vám do nich své poznámky a vrátím zpět.

Spočítali jsme skoro všechny středoškolské úlohy na goniometrické a exponenciální funkce.
Položili jsme si jednu z otázek ze začátku podkapitoly 9.1 o mocninách z učebního textu.
Ukázali jsme si, jak lze dvojím rozdělení čtverce odvodit vztah pro (a+b)² a Pythagorovu větu. Pythagorovu větu jsme pak použili k odvození hodnot goniometrických funkcí některých úhlů. Vyšli jsme ze čtverce rozděleného úhlopříčkou a rovnostranného trojúhelníku rozděleného výškou.
Rozdali jsme si středoškolské úlohy na logaritmické a exponenciální nerovnice a řekli si, že se jim budeme věnovat vždy, když nám zbyde na cvičení čas.