Goniometrické funkce
Cíl: Definovat goniometrické funkce, uvést některé jejich vlastnosti, odvodit vzorce pro derivace, spočítat příklady na limity a derivace goniometrických funkcí, zopakovat Taylorův polynom a jeho zbytek.
Program:
Stručně zopakujeme trigonometrickou definici goniometrických funkcí a definici na jednotkové kružnici, při výkladu použijeme prezentaci.
Z úloh na první cvičení opíšeme *3 a obdélník z úlohy 6, v rychlosti odvodíme délky a úhly, necháme na tabuli pro srovnání s prezentací na odvození součtových vzorců pro sinus a kosinus na jednotkové kružnici.
Odvodíme limitu podílu sin(x)/x v nule, upozorníme na závislost výsledku na zvolených jednotkách (radiány nebo stupně). K odvození použijeme výsledek úlohy 7 (cos(x)<=sin(x)/x<=1/cos(x)) a větu o sevřené funkci (další názvy jsou o třech limitách, o dvou policajtech), větu zformulujeme a dokážeme. Vysvětlíme, že limita v nule je rovna derivaci sinu v nule.
Vyřešíme dvě úlohy na spojité rozšíření funkcí f(x)=sin(x)/[1-sqrt(1+x)], g(x)=sin(x)/[x^2+2x], ke kontrole výpočtu použijeme desmos.
Odvodíme vzorec pro derivaci sinu, před tím odvodíme limity (1-cos(x))/x, (1-cos(x))/x^2 (udělá se podobně jako předchozí limita) v nule (pro zjednodušení budeme předpokládat spojitost kosinu v nule, kterou pak ale nemůžeme zdůvodnit konečností derivace, byl by to důkaz kruhem).
Napíšeme vzorce pro derivaci funkcí kosinus, tangens, kotangens. Jejich odvození uděláme na cvičení.
Zopakujeme Taylorův polynom stupně jedna a dva a napíšeme vzorec pro Taylorův polynom stupně n a odvodíme Taylorův polynom sinu v nule. Na grafech ukážeme aproximační vlastnost Taylorova polynomu: [MŠ4+1], v úvodní kapitole, v textu o aproximaci funkcí graf v úvodu.
Pro funkci f(x)=sin(x)cos^3(x) najdeme na základní periodě intervaly, na nichž je monotonní, procvičíme přitom řešení goniometrických rovnic a nerovnic. Zjištěnou monotonii použijeme k určení oboru hodnot funkce.
K výše uvedeným definicím přidáme axiomatickou definici (poslední dva slajdy prezentace).

Úlohy na goniometrické funkce.

Cyklometrické funkce
Definujeme cyklometrické funkce (arcsin, arccos, arctg, arccotg), odvodíme vzorce pro jejich derivace, (připomeneme přitom větu o derivaci inverzní funkce).
Probereme limity funkcí arkustangens a arkuskonangens v nekonečnech, zopakujeme, jak souvisí limita monotonní funkce se supremem/infimem.

Určíme definiční obor, limity v krajních bodech, intervaly monotonie a obor hodnot funkce arcsin(x/(x^2+1)).
Podobně pro funkci arctg(x/(x+1)), dále určíme limity v krajních bodech definičního oboru složené funkce sin(arctg(x/(x+1))).
Na těchto úlohách vysvětlíme výpočet limity složené funkce, pak zformulujeme větu, speciálně pro případ spojité vnější funkce a pro případ jednostranných limit s monotonní vnitřní funkcí.
Další příklad na limitu složené funkce je substituce v limitě. Vysvětlíme na limitě arcsin(x)/x v nule.

Zopakujeme, jak je definován Taylorův polynom a jeho zbytek. Připomeneme, že Taylorův polynom používáme k lokální aproximaci funkce. Vyložíme dvě vlastnosti zbytku, které pomůžou určit řád chyby aproximace (jedna z nich je Lagrangeův tvar, který jste potkali v zimním semestru). Aproximační vlastnosti ukážeme na grafech: [MŠ4+1], v úvodní kapitole, v textu o aproximaci funkcí graf v úvodu.
Vyložíme, jak souvisí Taylorův polynom s lokálními extrémy a derivacemi (dáme za úkol do zimního semestru zopakovat si pozitivní a negativní definitnost matic).

Z věty o sevřené funkci odvodíme větu o limitě součinu omezené funkce a funkce s nulovou limitou. Tu pak použijeme na limity: sin(x)/x v nekonečnech, xsin(1/x) v nule. Ukážeme, že funkce x^2sin(1/x) má v bodě nula nespojitou derivaci, derivaci v bodě nula spočítáme pomocí definice (jinak to nejde), v ostatních bodech použijeme vzorce. Grafy na desmosu.

Úlohy na cyklometrické funkce. Změnila jsem označení u úloh 6, 9 (původně nebyly určeny pro cvičení).

Exponenciální a logaritmické funkce
Zopakujeme středoškolské znalosti exponenciálních funkcí, řekneme, čím se vyznačuje základ rovný Eulerovu číslu (tečna v bodě nula protíná osu y pod úhlem 45 stupňů).
Definujeme pomocí axiomů funkci exp, uvedeme její vlastnosti. Odvodíme vzorec pro derivaci funkce exp.
Funkci log definujeme jako inverzní funkci k funkci exp, odvodíme vzorec pro derivaci.
Pomocí funkcí exp, log definujeme ostatní exponenciální a logaritmické funkce.
Zformulujeme L'Hospitalovo pravidlo, spočítáme několik příkladů.

Úlohy na exponenciální a logaritmické funkce.

Řady čísel
Periodické desetinné rozvoje a jejich vyjádření zlomkem. Vyjádření desetinného rozvoje jako nekonečného součtu, obecného a periodického.
Odvození vzorce pro součet konečné geometrické řady. Definice součtu nekonečné řady a definice konvergentní řady (má konečný součet). Odvození vzorce pro součet nekonečné geometrické řady.
Nutná podmínka konvergence.
Harmonická řada a její součet.
Řady s nezápornými členy, kritéria konvergence.
Řady se střídavými znaménky.
Absolutní konvergence, vztah ke konvergenci. Kritéria absolutní konvergence.
Přerovnání řad, vztah k absolutní konvergenci.

Úlohy na řady I.
Úlohy na řady II.

Integrály

[MS-I] -- text o výpočtu integrálů. Obsahuje kapitoly úloh na procvičení (1.6, 2.1, 4.6, 5.6 7.5, 7.9, 8).