19. 12. 2018
Obrázek k příkladu 4, příklad 5 vzorové písemky.
Součet mocninné řady, jejíž k-tý člen je kx^k.
Věta o poloměru konvergence mocninné řady derivované člen po členu a věta o derivaci mocninné řady člen po členu a hlavní myšlenky důkazů.

---

18. 12. 2018
Příklad na dokončení důkazu lokální stejnoměrné konvergence mocninné řady.
U Watson Lake na jihu kanadské provincie Jukon je "Sign Post Forest" a v něm je umístěna cedule odkazující na Liberec (viz obrázek). Je vzdálenost na ceduli správná?
Poslední dva příklady a příklad 4 vzorové písemky.

12. 12. 2018
Důkaz věty o poloměru konvergence mocninné řady a důkaz spojitosti součtu mocninné řady na kruhu konvergence.

11. 12. 2018
Příklady na komplexní čísla a mocninné řady.

5. 12. 2018
Derivace řady člen po členu -- nemusíme dostat derivaci původní řady (pravidlo o derivaci součtu platí jen pro konečně mnoho sčítanců).
Rovnost derivace součtu a součtu derivací odpovídá prohození limit a také odpovídá spojitosti funkce "směrnic".
Komplexní čísla, reálná, imaginární část, komplexní (Gaussova) rovina. Absolutní hodnota komplexního čísla, vlastnosti.
Mocninné řady v komplexním oboru, střed řady, koeficienty, členy. Věta o poloměru konvergence. Příklady.

4. 12. 2018
Příklady na trojné integrály.

28. 11. 2018
Řady funkcí, definice základních pojmů.
Příklad řady spojitých funkcí s nespojitým součtem.
Definice stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí na množině.
Věta o spojitosti limity stejnoměrně konvergující posloupnosti spojitých funkcí.

27. 11. 2018
Příklady z úloh na dvojné integrály.

21. 11. 2018
Odvodili jsme vzorec pro souřadnice těžiště rovinného obrazce a spočítali polohu těžiště půlkruhu.
Řekli jsme, co říká Fubiniova věta.
Zformulovali jsme věty o substituci. Ukázali jsme geometrický význam jakobiánu přechodu od kartézských k polárním souřadnicím. Na procvičení jsme spočítali pomocí polárních souřadnic plochu půlkruhu. Spočítali jsme objem průniku koule a válce.

20. 11. 2018
Spočítali jsme příklady z úloh na dvojnásobné integrály a rozebírali jsme jejich geometrický význam.

14. 11. 2018
Definovali jsme dvojnásobný integrál a spočítali příklad.
Definovali jsme Riemannův dvojný integrál omezené funkce dvou proměnných na omezené množině. Uvedli jsme vlastnosti Riemannova integrálu: monotonie vzhledem k integrované funkci, linearita vzhledem k integrované funkci, aditivita vzhledem k množině přes kterou integrujeme.
Pomocí Riemannova integrálu jsme definovali Riemann-Jordanovu míru omezeného rovinného obrazce. Řekli jsme, že je aditivní, ale není sigma-aditivní (uvedli jsme příklad).

13. 11. 2018
Věnovali jsme se příkladům z úloh na metrické prostory.

7. 11. 2018
Ukázali jsme, že kompaktní množina je uzavřená a omezená. Konstatovali jsme, že v konečněrozměrném vektorovém prostoru s metrikou odvozenou od normy platí i opak: tedy kompaktní množiny jsou právě množiny uzavřené a omezené.
Ukázali jsme, že spojitá funkce na kompaktní množině nabývá extrémních hodnot (varianta Weierstrassovy věty pro metrické prostory).

6. 11. 2018
Definovali jsme: vnitřní, vnější, hraniční, hromadný, izolovaný bod množiny a uvedli jsme příklady.
Definovali jsme vnitřek a hranici množiny a uvedli jsme příklady.
Definovali jsme otevřenou, uzavřenou, omezenou, kompaktní množinu.
Ukázali jsme, že množina je otevřená právě když je její doplněk uzavřená množina.
Ukázali jsme, že sjednocení libovolného souboru otevřených množin je otevřená množina. Uvedli jsme příklad průniku nekonečně mnoha otevřených množin, který není otevřenou množinou. Formulovali jsme vlastnost: průnik konečně mnoha otevřených množin je otevřená množina.

31. 10. 2018
Definovali jsme metrický prostor. Uvedli jsme příklady: metrika odvozená na vektorovém prostoru od normy, diskrétní metrika.
Definovali jsme konvergentní a Cauchyovskou posloupnost bodů v metrickém prostoru. Definovali jsme okolí bodu v metrickém prostoru a přepsali jsme definici limity posloupnosti pomocí okolí. Nakreslili jsme okolí v R² v metrikách odvozených od známých norem (euklidovská, oktaedrická, krychlová). Ukázali jsme, že konvergence posloupnosti v R² nezávisí na výběru konkrétní normy. Konstatovali jsme, že to na konečně rozměrném vektorovém prostoru platí pro libovolnou dvojici norem. Ukázali jsme, že v diskrétní metrice konverguje jen posloupnost, která je od určitého indexu konstantní. Odtud plyne, že obecně konvergence na výběru metriky záleží.
Definovali jsme úplný metrický prostor a uvedli příklady úplných metrických prostorů a příklad metrického prostoru, který není úplný (racionální čísla se vzdáleností na reálné ose).

30. 10. 2018
Spočítali jsme zbylé úlohy z úloh na extrémy 2.
Vysvětlili jsme na příkladě, že ve větě o lagrangeových multiplikátorech je předpoklad nenulovosti gradientu funkce, která určuje množinu, podstatný.

24. 10. 2018
Vysvětlili jsme vztah vrstevnice a gradientu -- gradient je kolmý k vrstevnici. Vysvětlili jsme to pro funkci dvou proměnných dvěma způsoby: na řezu grafu funkce a tečné roviny rovinou kolmou k ose z a pomocí derivace podle vektoru o délce jedna.
Definovali jsme lokální vázaný extrém a formulovali větu o lagrangeových multiplikátorech.
Udělali jsme příklad 17.124 na str. 201 z [IK2]
Ukázali jsme výpočet příkladu 3 z úloh na extrémy 2 pomocí lagrageových multiplikátorů i elementárním způsobem.

23. 10. 2018
Spočítali jsme oba příklady z úloh na extrémy 1 a úlohy 1a,b, 2, 3 z úloh na extrémy 2.

17. 10. 2018
Zformulovali jsme větu o derivaci složené funkce.
Formulovali jsme větu o záměnnosti parciálních definici druhého řádu a ukázali jsme příklad funkce, která tyto derivace záměnné v jednom bodě nemá. Více viz skripta prof. Zajíčka, příklad 2.78 (strana 81), tvrzení 2.81 (strana 83).
Definovali jsme Hessovu matici druhých parciálních derivací.
Řekli jsme, jak vypadá Taylorův polynom druhého řádu a bez důkazu jsme uvedli větu o jeho zbytku pro funkci, která má spojité parciální derivace druhého řádu na okolí bodu, v němž funkci rozvíjíme v Taylorovu řadu (ve skriptech prof. Zajíčka je Taylorův polynom popsán na straně 95, my jsme citovali větu 2.100 na straně 96).
Definovali jsme lokální extrémy funkce dvou proměnných.
Definovali jsme stacionární body funkce dvou proměnných jako body, v nichž je nulový gradient.
Spočítali jsme příklad 17.08 z [IK2] na stacionární bod funkce, Hessova matice vyšla ve stacionárním bodě indefinitní, konstatovali jsme, že funkce nemá v tomto bodě extrém.

16. 10. 2018
Věnovali jsme se (druhým) úlohám o derivacích.

10. 10. 2018
Dokázali jsme větu o existenci silné derivace. Ukázali jsme, že z existence silné derivace plyne spojitost. Vysvětlili jsme na příkladu větu o derivaci složené funkce a hlavní myšlenku důkazu. Vše podle textu o derivacích. Nestihli jsme formulaci věty o derivaci složené funkce ze závěru textu.

9. 10. 2018
Z úloh o derivacích jsme jen zopakovali, jak se na grafu funkce projeví ne/spojitost a ne/existence slabé a silné derivace.
Vyráběli jsme papírový model čtyřbokého hranolu z jedné strany šikmo seříznutého. Demonstrovali jsme tím geometrický význam aditivity.
Probrali jsme příklad 2.22 ze skript prof. Zajíčka (strana 61).

3. 10. 2018
Mluvili jsme o tečnách, jejich rovinách a o slabé a silné derivaci podle níže zmiňovaného textu.

2. 10. 2018
Probrali jsme úlohy na spojité rozšíření a z textu o derivaci jsme spočítali derivaci podle vektoru k funkcím f, g a ještě jednou f.

26. 9. 2018
Probrali jsme euklidovskou vzdálenost ve vícerozměrném prostoru a její vlastnosti. Dále definici spojitosti a limity funkcí mezi vícerozměrnými prostory, ukázali jsme si, že limity i spojitost můžeme zkoumat po složkách, a proto se v příkladech omezíme na případy funkcí z množiny dvojic čísel do množiny reálných čísel. Uvedli jsme několik příkladů na spojité rozšíření.
Stručně sepsaná přednáška.

25. 9. 2018
Probrali jsme cvičení ze závěru textu o parciálních derivacích (odkaz níže) a příklady 6, 7, 9 z úvodního textu. Příklad 8 je určen k samostatné práci.

19. 9. 2018
Probrali jsme text o parciálních derivacích.

18. 9. 2018
Řekli jsme si, že v rozvrhu prohodíme přednášku (bude ve středu) a cvičení (bude v úterý).
Řekli jsme si podmínky pro udělení zápočtu.
Z úvodního textu jsme probrali body 1 až 5 a udělali úkoly 1 až 5.