Analýza funkcí více proměnných, 2021/22, program a plán

Zdroje:
[LZ] Zajíček Luděk: skripta (funkce více proměnných)
[JV2] Jiří Veselý: Základy matematické analýzy II, Matfyzpress, Praha, 2009.
[FS] skripta Filipa Soudského

Témata přednášky AFVP: Diferenciální počet funkcí více proměnných, metrické prostory, řady funkcí, speciálně mocninné řady.

5. ledna 2022
V textu o derivacích si v části 5 na stranách 6 až 8 zopakujte důkaz věty o derivaci složené funkce a splňte úlohy 1 až 3. Na straně 7 výše uvedeného textu vynecháváme důkaz tvrzení o zbytcích Taylorova polynomu, zopakujte si tuto část důkazu a předveďte ji na hodině jako cvičení.

6. ledna 2022
Probereme důkaz věty o Lagrangeových multiplikátorech. Nejdřív pro funkci dvou proměnných s jednou vazbou, poté pro funkci tří proměnných s jednou a dvěma vazbami a nakonec pro obecný případ. Zopakujeme si přitom některé pojmy z lineární algebry a jejich vzájemné souvislosti (lineární nezávislost vektorů, hodnost matice, hodnota determinantu a subdeterminantu). Dále si při důkazu zopakujeme derivaci složené funkce (chain rule) a větu o implicitní funkci.

16. prosince 2021
Probírali jsme větu o implicitní funkci ve vyšší dimenzi [LZ], 2.114 až 2.118.

15. prosince 2021
(i) pro každý vektor platí Parsevalova rovnost
(ii) ortonormální posloupnost je úplná
Ukázali jsme, že z (i) plyne (ii) a na úplném prostoru platí i opačná implikace.
Ukázali jsme, že prostor L_2 je úplný ([IN], věty 5.16, 5.17).

9. prosince 2021
Michal odprezentoval (i)=>(iii) z věty 89 z [FS].
Dopočítali jsme koeficienty Fourierovy řady (grafy odpovídajících trigonometrických polynomů).
Definovali jsme nekonečněrozměrné vektorové prostory se skalárním součinem: l_2 a L_2 na omezeném intervalu. Odvodili jsme Besselovu nerovnost, řekli, co je úplná ortonormální posloupnost.

8. prosince 2021
Zopakovali jsme, co je vektorový prostor se skalárním součinem, definovali jsme ortonormální množinu, řekli, jak pomocí skalárního součinu spočítáme souřadnice vektoru vzhledem k ortonormální bazi. Odvodili jsme Besselovu nerovnost a řekli, že v případě ortonormální baze na konečněrozměrném prostoru přejde v Parsevalovu rovnost.
Na prostoru spojitých funkcí na intervalu [0,2pi] jsme definovali skalární součin a zavedli ortonormální trigonometrickou množinu a definovali trigonometrický polynom a trigonometrickou Fourierovu řadu.
Počítali jsme koeficienty Fourierovy řady.
Odpoledne Jana odprezentovala (iv)=>(i) z věty 89 z [FS].

2. prosince 2021
Probírali jsme stejnoměrnou a bodovou kovergenci funkcí a řad, [JV], 14.1.1, 14.1.2, 14.2.1, 14.3.1, 14.3.5. Ukázali jsme, že mocninné řady jsou na kruhu konvergence spojité a lze je derivovat člen po členu, [JV-UKP], lemma 2.2.8, věta 2.3.5.

1. prosince 2021
Filip Soudský předvedl důkaz ekvivalence norem na konečněrozměrném vektorovém prostoru.
Zabývali jsme se úlohami ze cvičení pro studenty učitelství: 2, 2a na limity a limity po přímkách a úlohy na derivace.

25. listopadu 2021
Probírali jsme Jacobiovu matici zobrazení a inverzního zobrazení, geometrický význam řádků a sloupců -- na konkrétním případě (u,v)=(xy,y/x) a obecně.
Dokázali jsme větu o implicitní funkci ([LZ] 2.112).

24. listopadu 2021
V 16 hodin studenti prezentovali důkaz, že totálně omezená množina je omezená ([JV], lemma 13.3.8) a důkaz věty 89 z [FS].

24. listopadu 2021
Vrátili jsme se k úloze z minula.
Z kapitoly 2.2 jsme probrali: spojitost, limity a derivace zobrazení do R^n se počítá po složkách (v [LZ] 1.62, 2.38, můj starší text).
Dokázali jsme větu o derivaci složeného zobrazení (2.50 v [LZ]), k důkazu jsme potřebovali větu 1.123 o lineárních zobrazeních, kterou jsme dokázali.

18. listopadu 2021
Diskutovali jsme úlohu z minula, Věnceslav ukázal, že pro diskrétní metriku tvrzení neplatí. Úloha zůstává na příště s tím, že metrika je odvozená od normy.

Z kapitoly 2.1 z [LZ] jsme probrali příklad 2.2, definici 2.5, tvrzení 2.8, poznámku 2.9 (iv), větu 2.10, příklad 2.13, (nakreslili jsme obrázek k větě 2.17), příklad 2.22, větu 2.28. Studenti přečtou kapitolu 2.1 (bez 2.17, 2.18). Jako alternativní literatura slouží můj text o derivacích.

11. listopadu 2021
Diskutovali jsme o druhé úloze z textu.

10. listopadu 2021
Zabývali jsme se přechodem k infimu z nerovnosti na řádku 4 na str. 11 k nerovnosti na řádku 6 a důkazem, že vnitřek průniku je průnik vnitřků.

4. listopadu 2021
Zmínili jsme, co je špatně na našem důkazu ekvivalence norem na konečněrozměrném vektorovém prostoru. Ukázali jsme, že jednotková (a obecně s jakýmkoliv poloměrem) koule je konvexní množina symetrická podle počátku. Ukázali jsme, jak dokázat nerovnost m|v|_a≤|v|_e pro libovolnou normu a a euklidovskou normu e. Naznačili jsme důkaz opačné nerovnosti.
Úkoly ze včerejška se přesouvají na příští týden.

3. listopadu 2021
Jana ukázala, že pro d=ro(x,y) je B(y,r-d) podmnožinou B(x,r).
Ukázali jsme, že v MP (R^d, ro_2) je konvergence posloupnosti ekvivalentní konvergenci po složkách. Ukázali jsme, že (R^d, ro_2) je úplný MP.
Dokazovali jsme, že na konečněrozměrném vektorovém prostoru jsou všechny normy ekvivalentní, zjistili jsme, že v důkazu jsou díry. Co hůř, zjistili jsme, že mlčky předpokládáme spojitost normy z jednoho prostoru v prostoru s druhou normou, což je víceméně to, co chceme dokázat.
V první kapitole textu profesora Netuky o Lebesgueově integrálu jsme ukazovali, že zde uvedená definice kompaktní množiny je ekvivalentní s definicí v [FS].
Můj první dú: důkaz, že totálně omezená množina je omezená najdou studenti v [JV], lemma 13.3.8. Studenti mají za úkol ho nastudovat.
Probrali jsme důkaz, že v MP (R^d, ro_2) má kompaktní množina A a uzavřená množina B, které jsou neprázdné a disjunktní kladnou vzdálenost. Ukázali jsme příklad, že uzavřenost obou nestačí.
Dokazovali jsme tvrzení v [IN] na str. 10 dole. Dú pro studenty: dokažte přechod k infimu z nerovnosti na řádku 4 na str. 11 k nerovnosti na řádku 6. Můj dú obsahuje další dva dú pro studenty.

Večer jsme pak ještě procvičovali důkaz tvrzení 21 z [FS], důkaz, že hranice a derivace množiny jsou uzavřené množiny.

27. října 2021, přednáška
Ukázali jsme, že v MP (R^2, ro_nekonečno) je každá omezená množina totálně omezená. Studenti si rozmyslí totéž pro (R^2,ro_2), (R^d, kterákoliv z ro_1, ro_2, ro_nekonečno).
Probrali jsme Lemma 5 a větu 89 z [FS].
Z [LZ] jsme probrali Tvrzení 1.36, poznámku 1.37, věty 1.38, 1.39, větu 1,40, definici 1.41.

27. října 2021, cvičení
Probrali jsme kapitolu 1.5 z [LZ], definici 1.54 a tvrzení 1.55 jsme demonstrovali na euklidovské a diskrétní metrice na R. Charakterizovali jsme konvergentní posloupnosti v prostoru s diskrétní metrikou. Dokázali jsme, že normy jsou ekvivalentní dle definice 1.56 právě když splňují nerovnosti uvedené v [LZ] níže. Studenti mají za úkol spočítat normy v příkladu 1.57 dole.
Michal předvedl důkaz, že v 1.30 [LZ] z (v) plyne (i) (Heineho věta).
Ukázali jsme, že posloupnost f_n(x)=1/n sin(nx) konverguje k nulové funkci v metrice dané integrálem z rozdílu absolutních hodnot, zatímco v metrice dané integrálem z |f(x)-g(x)|+|f'(x)-g'(x)| k nulové funkci nekonverguje. Integrovali jsme přes interval [0,pi].

21. října 2021, přednáška
Probrali jsme definici totálně omezené množiny (prostoru) [JV] 13.3.7, 13.3.10, [FS] definice 61. Z [FS] jsme dále probrali větu 84 (charakterizace prekompaktnosti), definici 62 kompaktní a sekvenciálně kompaktní množiny, tvrzení 21, definici 64 lipschitzovské a bilipschitzovské funkce, uvedli jsme geometrickou interpretaci (existuje úhel, kterým se lze dotknout grafu v kterémkoliv bodě) a ukázali, že odmocnina z |x| není na R lipschitzovská. Probrali jsme větu 88 z [FS] o existenci extrémů spojité funkce na kompaktní množině.

21. října 2021, cvičení
Probrali jsme úlohy z [FS] 18.1 2 (jen pro otevřené a uzavřené množiny), 6, 13, studenti si je ještě doma promyslí.

20. října 2021, cvičení
Napsali jsme si test z [LZ] 1.20.
Probrali jsme úlohy z [FS] 19.9 3a, d, 7, povídali jsme si o 9, probrali 18.1 1b, d, e.

14. října 2021, přednáška
Z [LZ] jsme probrali 1.86 až 1.88: Banachovu větu o pevném bodě, ukázali jsme aplikaci; definici husté množiny (uvedli příklad reálných, racionálních a iracionálních čísel).

14. října 2021, cvičení
Věnovali jsme se úlohám z [FS] 19.9. 1a, b, d, 3.

13. října 2021
Viz přednáška AN3 -- parciální funkce, parciální derivace, přírůstek funkce, gradient a jeho geometrický význam, rovnice tečné roviny, derivace ve směru (podle vektoru).

13. října 2021, přednáška
Probrali jsme kapitolu 1.8 o úplných prostorech k větě 1.85, ukázali jsme, že (R^2, ro_2) je úplný prostor (při tom jsme ukázali, že konvergence posloupnosti v tomto prostoru je konvergence po složkách).

13. října 2021, cvičení
Dokázali jsme ekvivalenci (i) s (ii) v tvrzeních 1.31, 1.32 z [LZ] (sken k 1.31).
Ukázali jsme, že vzor rozdílu množin je rozdíl jejich vzorů a na základě toho dokázali (iii) z 1.31, 1.32.
Dokončili jsme důkazy tvrzení z 1.20.
Dokázali jsme, že posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Probrali jsme definici 1.33, ukázali, že pro X=R, A=[a,nekonecno) definici odpovídá limita v a zprava (a podobně pro limitu zleva). Z [FS] jsme udělali 19.9.1c.

7. října 2021, cvičení
Z 1.20 jsme dokončili a, udělali po jedné implikaci b, c, udělali f, g, h a z i dokázali uzavřenost derivace množiny. Dále jsme ukázali, že zobrazení, které množině přiřazuje její vnitřek je monotonní.
Důkaz tvrzení 1.30 z [LZ].

6. října 2021, přednáška
Z kapitoly 1.3 [LZ] jsme probrali:
Definici 1.13 podprostoru, uvedli jsme příklad. Poznámku 1.14.
Definici 1.17 limity posloupnosti bodů v MP, studenti si rozmyslí důkaz, že posloupnost bodů v MP má nejvýše jednu limitu. Poznámku 1.18.
Tvrzení 1.21 (i), (ii), (zbývající (iii) necháme, až dokončíme 1.20);
Ukázali jsme, že zobrazení přiřazující množině uzávěr je monotonní -- tj. pro A podmnožinu B je uzávěr A je podmnožina uzávěru B. Obdobné tvrzení pro vnitřek necháváme na cvičení.
Ukázali jsme, že uzávěr množiny je uzavřená množina.
Dokázali jsme tvrzení 1.22.
Zmínili jsme se o významu poznámky 1.23.
Probrali jsme definice 1.24, 1.25, uvedli jsme příklad uzavřených disjunktních množin s nulovou vzdáleností (konstatovali jsme, že podstatné je, že jsou neomezené, podrobnosti budou později).
Z kapitoly 1.4 o spojitých zobrazeních jsme probrali definice 1.26, 1.28 a poznámky 1.27, 1.29.
Začali jsme z důkazem Tvrzení 1.30.

6. října 2021, cvičení
Zapomněli jsme na "ještě jednu drobnost ke konvexním funkcím a Youngově nerovnosti (význam konvexní kombinace)".
Z tvrzení 1.20 a jsme udělali první dva vztahy a dali nápovědu k dalším, studenti je do zítřka vloží do sdíleného adresáře. Dále si studenti rozmyslí důkaz, že posloupnost bodů v MP má nejvýše jednu limitu.

30. září 2021, cvičení
Ukázali jsme, jak z Pytagorovy věty plyne vztah nad definicí 1.1.
Ukázali jsme, limita p normy pro p -> nekonečno je maximová norma.
Ukázali jsme ekvivalenci nerovnosti směrnic a y-ových souřadnic, kterou jsme potřebovali při výkladu konvexních funkcí a odvození Youngovy nerovnosti.
Důkaz o diskrétním MP vloží studenti do sdíleného adresáře.
Dokončiili jsme definici 1.19 (f, g, h), demonstrovali vnitřní body, hraniční body a body vně množiny na krajanech a sousedech, případně na pobřeží a moři. Napsali jsme několik vztahů a dokázali je. Diskutovali jsme vnitřek a uzávěr množiny racionálních čísel v množině reálných čísel; vnitřky, uzávěry a hranice v diskrétním prostoru.

29. září 2021, obě přednášky, v 8:50 i v 12:30
[LZ] kapitola 1.1: probrali jsme definici 1.4, řekli, že ji lze ekvivalentně upravit. Doporučuji pročíst celou kapitolu, obsahuje hodně povídání, kterému stojí za to věnovat pozornost.
Z kapitoly 1.2 jsme řekli (zopakovali z algebry) definici 1.5 a ukázali, jak norma na vektorovém prostoru indukuje metriku.
Uvedli jsme p normy z příkladu 1.10, pro p > 1 jsme dokázali trojúhelníkovou nerovnost (Minkowski). Před tím jsme dokázali Youngovu a Hölderovu nerovnosti.
Z kapitoly 1.3 jsme probrali definici 1.15 otevřené koule/okolí bodu a nakreslili jsme obrázky pro tři různé metriky. Z definice 1.19 jsme udělali a) -- e), kreslili jsme obrázky, dokázali některé vlastnosti.