Záznamy z konzultací
3. června, Sken z výkladu.

---

Přednáška 29. 5. 2020
Záznam z výkladu počítání geometrických aplikací integrálů.
Záznam z výkladu exponenciálních funkcí.
Naskenovaný výklad ze záznamu.

Cvičení 26. 5. 2020
Záznam z úterý 26. 5.
Naskenovaný výklad záznamu.
Probírali jsme studentská řešení úloh na poslední týden.

Přednáška 22. 5. 2020
Záznam
Naskenovaný výklad ze záznamu.

Program:
Odvodíme vzorce pro geometrické aplikace integrálů -- body 2 až 6. U bodu 2 připomeneme vztahy odvozené v úvodu ke kapitole o integrálech.

K definici Riemannova integrálu uvedeme, co je infimum (supremum jsme probírali u limit rostoucích posloupností) a zopakujeme pojmy, potřebné pro definici Riemannova integrálu. Připomeneme Dirichletovu funkci, že nemá Riemannův integrál. Jako zajímavost uvedeme, že lze Dirichletovu funkci vyjádřit jako limitu a ukážeme graf příbuzné Riemannovy funkce.

Uvedeme vztah (11.31) a jeho použití pro výpočet integrálu "po jednotlivých intervalech".

K větě o existenci primitivní funkce ke spojité funkci na otevřeném intervalu uvedeme z druhého dílu [JV2]:
Větu 11.2.23 o existenci Riemannova integrálu. Větu 11.2.46 o derivaci integrálu s proměnnou mezí. Definici 11.2.44 Riemannova integrálu "s prohozenými" nebo stejnými mezemi. Větu 11.2.48 o existenci primitivní funkce ke spojité funkci na otevřeném intervalu.

K Newtonovu integrálu (definice 11.3.6) přidáme definici 11.3.2 zobecněné primitivní funkce a vysvětlíme její význam pro existenci Newtonova integrálu z po částech spojité funkce.

Cvičení 19. 5. 2020
Záznam z povídání o studentských řešeních úloh na minulý týden. Tentokrát jsem neposílala zpětnou vazbu a předpokládám, že většině z vás budou stačit probraná řešení. Pokud máte zájem o zpětnou vazbu ke svým řešením, napište.
Záznam z povídání o úlohách na další týden.
Probírali jsme zde odkazy na WolframAlpha:
vyčíslení částečného součtu a graf částečných součtů
součet řady včetně vyhodnocení kritérií
tabulka částečných součtů
graf pro ilustraci integrálního kritéria
Záznam z povídání o Taylorově řadě -- připomněli jsme, co je zbytek Taylorova polynomu, jak vypadá jeho Lagrangeův tvar použili jsme to k vyjádření Eulerova čísla jako součtu nekonečné řady.
Naskenovaný výklad ze záznamů.

Přednáška 15. 5. 2020
Záznam z přednášky
Naskenovaný výklad ze záznamu.
Odvodili jsme srovnávací, limitní srovnávací, podílové a limitní podílové kritérium konvergence řady s kladnými členy. Před tím jsme konstatovali, že řada s kladnými členy má součet a uvedli jsme příklad řady, která součet nemá (1 -1 +1 -1 + ...). Odpověděli jsme tím na otázky v poslední úloze na minulý týden.
Věnovali jsme se řadě 1-1/2+1/3-1/4+...+(-1)^n/n+... a ukázali jsme, že má konečný součet a ten se po přerovnání členů může změnit. Řekli jsme, že tento jev může nastat u tzv. neabsolutně konvergentních řad a vysvětlili jsme pojem absolutně a neabsolutně konvergentní řady. Konstatovali jsme, že každá absolutně konvergentní řada je i konvergentní a řekli hlavní myšlenku důkazu. K tomu jsme potřebovali pojem Cauchyovské (čteme kóšiovské) posloupnosti. Definovali jsme ho a konstatovali jsme, že každá konvergentní posloupnost (tj. posloupnost s konečnou limitou) je Cauchyovská a pro posloupnosti reálných čísel platí i opak -- tedy každá Cauchyovská posloupnost je konvergentní. Řekli jsme, že toto neplatí na množině racionálních čísel -- uvedli jsme příklad posloupnosti racionálních čísel (zpřesňující se ukončené desetinné rozvoje odmocniny ze dvou), která je Cauchyovská, ale nemá limitu v množině racionálních čísel.

Cvičení 12. 5. 2020
Záznam ze studentského řešení úloh z minulého týdne.
Záznam z povídání o limitě posloupnosti, pomohli jsme si i studentským řešením příkladů na limity exponenciální a logaritmické funkce. Speciálně jsme se věnovali limitě rostoucí posloupnosti a řekli, co je supremum množiny.
Probrali jsme limitu geometrické posloupnosti. Odvodíli jsme vzorec pro součet konečné geometrické řady a z něho podmínku pro konvergenci geometrické řady.
Zopakovali jsme divergenci harmonické řady. Sečetli jsme řadu 1/(2x3)+1/(3x4)+...+1/(k(k+1))+... pomocí rozkladu na parciální zlomky a spočítali její částečné součty. Ukázali jsme, že řada 1/1^2+1/2^2+...+1/k^2+... má konečný součet (tj. konverguje).
Řekli jsme, co je nutná podmínka konvergence nekonečné řady.
Naskenovaný výklad ze záznamu.

Cvičení 5. 5. 2020
Záznam ze studentských řešení úloh z minulého týdne.
Záznam z výkladu metody per partes k úlohám na tento týden.
Záznam z povídání o řadách. Na začátku o součtu s_3 na straně 148 učebního textu a o rozdílu mezi posloupností a řadou.
Od 6:38 o převodu periodického desetinného rozvoje na zlomek a odvození součtu nekonečné geometrické řady.
Od 15:00 o základních pojmech nekonečných řad.
19:00 -- 28:00 o grafu částečných součtů na WolframAlpha.
Od 29:20 o harmonické řadě a jejím součtu.
33:00 -- 36:45 o Achillovi a želvě.

Cvičení 28. 4. 2020
Záznam z povídání o řešeních úloh z minulého týdne kapitola 4.7.
Záznam z povídání o úlohách na tento týden.
Upozornili jsme na doplnění o hvězdičkových příkladech a o doplnění příkladu 21 na exponenciální funkce.
Záznam z povídání o Riemannově integrálu. Vrátíme se k němu ještě později.

Přednáška 24. 4. 2020
Záznam z přednášky.
Na začátku je rada k jedné úloze na tento týden.
Dále jsme probírali určité integrály -- Riemannův i Newtonův a zdůvodňovali jsme, že pro spojité funkce dávají stejný výsledek. Ukazovali jsme graf Dirichletovy funkce a vysvětlovali, že nemá Riemannův integrál. Poslední asi půl hodina je diskusí nad Dirichletovou funkcí a nad Lebesgueovým integrálem spuštěná dotazem jednoho ze studentů.

Cvičení 21. 4. 2020
Záznam ze cvičení.
Vrátili jsme se k úloze 1 na exponenciální funkce (mluvili jsme o ní v pátek).
Na grafech šíření infekce jsme vyložili, proč se exponenciály v logaritmické škále zobrazí jako přímky.
Vyložili jsme L'Hospitalovo pravidlo a spočítali několik limit.
Stručně jsme se podívali na úlohy z minulého týdne.
Probrali jsme další kapitolu výpočtu integrálů (substituce s inverzní funkcí).

Přednáška 17. 4. 2020
První video: na začátku probíráme souvislost pravidla o derivaci složené funkce se substitucí v integrálu z 4.1. Od asi 5:30 si povídáme o významu logaritmické škály na grafech funkcí a o tom, že grafem exponenciální funkce je v této škále přímka. Výklad provádíme pomocí grafů na 91-divoc.com (odrolujte dolu a klikněte na my visualization ...).
Druhré video: pokračujeme ve výkladu logaritmické škály. Od zhruba sedmé minuty ukazujeme grafy mocninných a exponenciálních funkcí a vysvětlujeme, jak na těchto grafech určit limitu jejich podílu v nekonečnu. Směřujeme k výkladu L'Hospitalova pravidla, ale protože nemáme kameru (ve skutečnosti ji máme -- její záběr vidíte ve videu vpravo, občas se tam ukáže moje ruka), necháváme výklad na úterý. Od asi třinácté minuty dávám návod k úloze 1 na exponenciální a logaritmické funkce. Od 17:40 si povídáme o nové úloze (21*) z tohoto souboru.

Cvičení 14. 4. 2020
Video z tohoto cvičení (přístup k videím máte po přihlášení TULáckým emailem do googlu). Probírali jsme úlohy, které jste si vyžádali. Příklady na funkce považuji za probrané, je možné se k nim vrátít, pokud si to vyžádáte. Buď na cvičení nebo můžete individuálně, pošlete rozřešený příklad s otázkou. Dále jsme se věnovali integrálům z kapitoly 4.4.

Zpráva z období koronavirové karantény bez online lekcí:
Do 5. 4 se studenti věnovali úlohám na goniometrické a cyklometrické funkce, úlohám na exponenciální a logaritmické nerovnice a úlohám na exponenciální a logaritmické funkce. Každý týden posílali vyřešené úlohy emailem. K řešení nerovnic studenti používali dvě z uvedených metod.

Z textu o integrálech a jejich výpočtu posílají studenti průběžně dotazy, je-li něco nesrozumitelné.
Do neděle 22. 3. studenti řeší úlohy ze závěru úvodní kapitoly.
Do neděle 29. 3. studenti řeší úlohy ze závěru kapitoly druhé (lineární substituce) a třetí (racionální funkce).
Do neděle 5. 4. studenti řeší úlohy z kapitoly 4.3 -- procvičení substituce v integrálu.

Před velikonoci jsme změnili styl, připojili jsme se online (podrobnosti jsem posílala emailem) a studentům jsem dala za úkol odpovědět na otázky a úkoly.

Vybrané studentské práce ukládám průběžně pro inspiraci ostatním do složky o studentských pracích.

Po velikonocích jste dostali za úkol řešit úlohu o rýži a šachovnici. Řešit máte ve dvojicích (můžete i sami nebo ve trojicích, ale dávám přednost dvojicím) a svoje řešení máte poslat jednou za dvojici a popsat do něj veškeré svoje úvahy i cesty, které jste později zavrhli. Ideálně jmenovitě (nemusíte pod svými jmény, použijte přezdívky, chcete-li) co kdo navrhoval a čím ho ostatní přesvědčili. Ve své práci uvádějte zdroje, ze kterých jste čerpali.

K doplnění studia jsem doporučila ke shlédnutí následující videa:
Video na týden 16. -- 22. 3.: o exponenciální funkci z kanálu 3blue1brown. Popisuje současnou situaci -- odpovídá na otázku: jak rychle se šíří choroba, pokud každý nakažený nakazí další dva během tří dnů? Dále dá odpověď na otázku, proč je derivace funkce exp rovna funkci exp, navíc je plné animací a připomene vám definici derivace a limity. Video je v angličtině, proto malý slovníček: slope je směrnice přímky, chain rule je pravidlo pro derivaci složené funkce.
Video na týden 23. -- 29. 3. je ještě víc aktuální, je o exponenciálním růstu a jeho zpomalení.
Video na týden 30. 3. -- 5. 4. vysvětluje bez matematiky stejné jevy, jako video z minulého týdne.

10. 3. 2020
K úlohám na goniometrické a cyklometrické funkce jsme řekli pár slov o funkci arkuskotangens, k úlohám na exponenciální a logaritmické nerovnice jsme připomněli metody řešení a k úlohám na exponenciální a logaritmické funkce jsme řekli, že log značí (ve shodě s matematickou literaturou a na rozdíl od školských zvyklostí) přirozený logaritmus a exp exponenciální funkci, jejíž základem je Eulerovo číslo e o hodnotě 2.718... Řekli jsme vzorce pro derivace těchto funkcí a připomněli jejich grafy.

Přednáška 6. 3. 2020
Stručně jsme se vrátili k definici goniometrických funkcí na pravoúhlém trojúhelníku a na jednotkové kružnici a dokončili jsme odvození součtových vzorců. Zmínili jsme se o axiomatické definici goniometrických funkcí: [JV], věta 6.6.3.
Vykreslili jsme pomocí WolframAlpha grafy funkcí sin(1/x), x sin(1/x), x^2 sin(1/x) a rozebrali jsme jejich chování v okolí nuly (spojitost, existenci derivace).
Probrali jsme důkaz limity složené funkce.
Připomněli jsme vlastnost nabývání mezihodnot a definovali arkussinus a arkuskosinus.
Odvodili jsme vzorec pro derivaci arkussinu a napsali vzorec pro derivaci arkuskosinu.
Na grafu funkce tangens jsme definovali arkustangens, určili limity v nekonečnech, nakreslili graf, napsali vzorec pro derivaci.

Cvičení 3. 3. 2020
Věnovali jsme se limitám -- úlohy 1 až 7 a úloze 9 z minulého cvičení.

Přednáška 28. 2. 2020
Počítali jsme limitu podílu sin(x)/x v bodě nula -- použili jsme nerovnosti ze cvičení a zformulovali a dokázali "policejní" větu o limitách. Tuto větu jsme použili i k výpočtu limit podílu sin(x)/x v plus a mínus nekonečno.
Vysvětlili jsme souvislost hodnoty limity v nule se zvolenými jednotkami (stupně, radiány).
Dále jsme vysvětlili souvislost s hodnotou derivace funkce sinus v nule, spočítali jsme derivaci funkce kosinus v bodě nula (vyšla nula). Analogicky jsme spočítali limitu výrazu (1-cos x)/x^2 v nule (vyšla 1/2).
Odvozovali jsme součtové vzorce pro sinus a kosinus na jednotkové kružnici, nedokončili jsme to, doděláme na cvičení.
Ze součtových vzorců jsme odvodili vzorec pro derivaci sinu a na cvičení nechali odvození derivace kosinu. Odvodili jsme derivaci funkce tangens a na cvičení nechali odvození derivace funkce kotangens.
Připomněli jsme, že z existence konečné derivace plyne spojitost goniometrických funkcí.
Vysvětlili jsme větu o limitě složené funkce, její dvě varianty, ukázali, jak se používá.

Cvičení 25. 2. 2020
Seznámili jsme se s podmínkami pro získání zápočtu.
Z pdf, ps jsme stihli úlohy 1 až 5 a 6a až 6c.