13. 12. 2023
Spočítáme druhou derivaci spojitého rozšíření funkce exp(-1/x^2) v nule.
Ukážeme, že funkce exp, sin, cos se rovnají součtům svých Taylorových řad.

12. 12. 2023
Metrické prostory (náhrada za zrušenou přednášku ze začátku semestru): text, záznam přednášky, tabule z přednášky, tabule z přípravy na přednášku.

Cvičení 7. 12. 2023
Věnovali jsme se úlohám ke zkoušce.

6. 12. 2023 Záměna limit -- souvislost se spojitostí limity posloupnosti funkcí a s derivací řady.
Taylorovy řady, konkrétně pro exp, sin, cos, (1+x)^a a spojitého rozšíření funkce exp(-1/x^2).

Možný čtvrtý příklad: ukažte, že exp(-1/x^2) spojitě rozšířená do nuly má v nule všechny derivace nulové.
Možný čtvrtý příklad: jak zapojit nové technologie jako např. chatGPT do výuky. Co žáky učit, k čemu je vést, před čím je varovat.

Program na poslední týden: vrátíme se k obsahu rovinných obrazců.

29. 11. 2023
Věta o poloměru konvergence mocninné řady i s důkazem. Odvození vzorce pro poloměr konvergence. Příklady mocninných řad, výpočet poloměrů konvergence, zjištění oboru konvergence a oboru absolutní konvergence.
Derivování mocninné řady člen po členu, věta (bez důkazu).

22. 11. 2023
Posloupnosti a řady funkcí. Příklad posloupnosti spojitých funkcí s nespojitou limitou. Definice bodové a stejnoměrné konvergence. Lemma o bodové a stejnoměrné konvergenci i s důkazem. Věta o spojitosti a stejnoměrné konvergenci i s důkazem.
Mocninné řady, základní pojmy. Obor konvergence, obor absolutní konvergence. Dvě lemmata o oborech konvergence i s důkazy.

15. 11. 2023
Připomeneme výpočet elementárního obsahu v polárních souřadnicích pomocí středoškolské geometrie. Dále řekneme, co je Jacobiova matice, vysvětlíme geometrický význam sloupců Jacobiovy matice a řekneme, jak pomocí determinanu Jacobiovy matice spočítáme elementární objem. Zformulujeme větu o substituci pro dvojný integrál.
Odvodíme Guldinovu větu.
Spočítáme integrál přes reálná čísla funkce exp(-x^2/2). Neznáme primitivní funkci, ale umíme spočítat druhou mocninu integrálu v polárních souřadnicích.

Obsah rovinných obrazců -- prezentace

8. 11. 2023
Spočítáme polohu těžiště půlkruhu v kartézských souřadnicích a pomocí Guldinovy věty.
Zavedeme polární souřadnice, spočítáme elementární objem pomocí elementární geometrie.
V polárních souřadnicích spočítáme polohu těžiště půlkruhu, spočítáme objem Vivanova okna.
Čtvrtý příklad: Objem Vivianova okna přímo a pomocí Pappovy věty, vychází to pokaždé jinak, kde je chyba? A jak je to správně?

1. 11. 2023
Obsah, objem, těžiště, dvojný a dvojnásobný integrál, Fubiniova věta.

25. 10. 2023
Rozebereme odpovědi na kontrolní otázky k lokálním extrémům.
Budeme probírat vázané extrémy. Začneme žolíkovou úlohou z loňské písemky, návod na její řešení (a další úloha, základní definice, nutná podmínka vázaného extrému).

18. 10. 2023
Věta o záměnnosti smíšených parciálních derivací, příklad jejich nezáměnnosti.
Hessova matice, Taylorův polynom druhého stupně, věta o zbytku Taylorova polynomu.
Lokální extrém funkce dvou proměnných, nutné podmínky extrému, stacionární body funkce dvou proměnných.
Věta o lokálním extrému funkce dvou proměnných a Taylorově polynomu druhého stupně. Postačující podmínky pro existenci lokálního extrému.

11. 10. 2023
Příklad 2.22 z textu profesora Zajíčka na totální diferenciál a odhad chyby.
Derivace podle vektoru a derivace ve směru, věta o derivaci ve směru a gradientu. Příklad funkce s nesplněnými předpoklady věty (x^2y/(x^2+y^2) v bodě A=(0,0), funkci jsme před tím do bodu A spojitě rozšířili).
Rozbor znaménka skalárního součinu dvou vektorů. Vrstevnice a gradient, vysvětlení vzájemné polohy.

27. 10. 2023
Spojitost a limita funkce dvou proměnných, souvislost s limitami po přímkách, příklad funkce, která má stejné limity po přímkách a nemá dvojnou limitu. Taylorův polynom prvního stupně a jeho zbytek. Totální diferenciál, souvislost s Taylorovým polynomem prvního stupně a jeho zbytkem.

20. 10. 2023
Parciální derivace, rovnice tečné roviny, papírový model znázorňující parciální derivace a rovnici tečné roviny. Vrstevnice, gradient, jejich vztah.
Heslovitě k derivacím
Úlohy na rozehřátí


Text o derivacích: na str. 4, 5 věta o existenci totálního diferenciálu (v textu nazývám silnou derivací) s důkazem,
Text o parciálních derivacích.