Požadavky ke zkoušce z Matematické analýzy 2 pro akademický rok 2025/26
(Prozatímní verze.)
Písemná část
Typové příklady,
postupně budu přidávat další podle odpřednášené látky.
Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, vlastnoručně psaný tahák velikosti jedné strany A4 (odevzdáte ho s písemkou).
Zadání písemné části najdete po termínu
na webu předmětu,
Poznámky k písemné části
Všechna tvrzení v písemné části stačí znát bez důkazů.
Zdůvodnění svých postupů do písemky pište přiměřeně. Pokud na něco důležitého zapomenete, tak se vás pak při procházení písemky zeptám.
Základní vodítko je: proč pokračuji právě takto? Přitom středoškolské znalosti se nekomentují.
Hranice pro úspěch u písemné části jsou 4 vyřešené úlohy (hvězdičková varianta je jako 1,5 úlohy).
Hranici jste si mohli prací během semestru o půl nebo jednu úlohu snížit (tedy na tři a půl nebo na tři úlohy).
Zdroje k písemné části
Řešené úlohy k písemce najdete ve složce
https://kma.fp.tul.cz/~simunkova/analyza/an2-2025-26/Zkouska/Resene_ulohy
Ústní část
Typy důkazů.
Předveďte důkaz sporem, důkaz matematickou indukcí a nepřímý důkaz a vysvětlete jejich princip.
Alespoň jednu větu zvolte z *AN2, další můžete volit z *AN1 nebo *AN2.
Limity.
Definice limity funkce v nevlastním bodě.
Definice nevlastní limity funkce.
Operace s nekonečny a věta o aritmetice limit bez důkazu.
Věta o sevřené funkci
a její důkaz.
Věta o limitě složené funkce, bez důkazu, použití při výpočtu.
Věta o L'Hospitalově pravidle bez důkazu.
Druhy nespojitosti.
Zdroje:
Text o nevlastních limitách, limitách v nevlastním bodě, příklady limit goniometrických a cyklometrických funkcí (stejný odkaz je u cyklometrických funkcí)
Text o limitě složené funkce pro případ monotonní vnitřní funkce s důkazy a příklady
Druhy nespojitosti funkcí
Přehled metod výpočtu limit, zahrnuje metody z *AN2 i *AN1
Dvě sbírky řešených a neřešených úloh
první sbírka,
druhá sbírka,
obě byly vytvořeny s použitím velkého jazykového modelu gemini 3 pro, druhá pomocí promptu
Navrhni sbírku příkladů, ve kterých se budou kombinovat nástroje vyložené v souboru v příloze. K některým příkladům dej podrobné řešení, k dalším jen stručné a některé uveď bez řešení i výsledků.
Obecně je potřeba být opatrný*á a jazykovému modelu nevěřit slepě.
Určitě je ale dobré čerpat od něj inspiraci, případně si nechat poradit metodu výpočtu.
Goniometrické funkce.
Trigonometrická definice goniometrických funkcí,
odvození hodnot goniometrických funkcí pro vybrané úhly.
Definice goniometrických funkcí na jednotkové kružnici,
odvození hodnot goniometrických funkcí pro vybrané úhly.
Následující odvození na absolvování zkoušky stačí umět dle vašeho výběru buď z trigonometrické definice, nebo z definice na jednotkové kružnici.
Pro lepší známku je třeba znát oboje:
Odvození součtových vzorců pro sinus a kosinus,
odvození hodnoty limity sin(x)/x v nule pomocí věty o sevřené funkci,
odvození vzorců pro derivace funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens.
Grafy funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens.
Jak se projeví hodnoty limit sin(x)/x, (1-cos(x))/x, tg(x)/x na grafech funkcí sinus, kosinus, tangens.
Taylorovy polynomy funkcí sinus a kosinus.
Odvození vzorců pro sinus a kosinus dvojnásobného a polovičního argumentu.
Nadstavba pro motivované studenty:
Axiomatická definice goniometrických funkcí.
Grafy a vlastnosti funkcí sin(1/x), x sin(1/x), x^2 sin(1/x), x^2 sin(1/x^2).
Zdroje:
Řešené úlohy 1, 2, 3 z písemky
Definice goniometrických funkcí (prezentace).
Text o trigonometrické definici, obsahuje odvození hodnot pro vybrané úhly, součtových vzorců, rozdílových vzorců, důkaz spojitosti, odvození limity sin x/x v nule (zprava), vzorců pro derivaci.
Přednáška z online výuky:
Součtové vzorce na konci videa (posledních zhruba 30 minut a poslední dva skeny)
video,
skeny,
stejné video na youtube s časovými značkami
(pro spuštění se přihlaste na svůj @tul.cz účet).
Celá přednáška
video,
skeny,
stejné video na youtube s časovými značkami
(pro spuštění se přihlaste na svůj @tul.cz účet).
grafy taylorových polynomů funkcí sinus, kosinus (desmos)