23. prosince 2022
Budeme se věnovat příkladům k přípravě na zkoušku (změnila jsem formulaci příkladu 12, cílem je nepoužít slepě vzorec pro Taylorovu řadu).
Přepsala jsem text o lineárním zobrazení, může se hodit k některým příkladům.
Případně se budeme věnovat požadavkům k ústní zkoušce.
Stručně zmíníme, co jsou Laurentovy řady, mimo zkoušku, ale pro studenty UKPX ke státnicím.
Dodatek k základní větě algebry pro ukpx.

16. prosince 2022
Řekli jsme definici funkce holomorfní na otevřené množině, uvedli vlastnosti: V komplexním oboru z existence první derivace plyne existence derivací vyššího řádu a možnost rozvinout funkci do Taylorovy řady. Ukázali jsme příklady funkcí v reálném oboru, které tuto vlastnost nemají.
Zopakovali jsme základní pojmy mocninných řad: koeficient, střed, člen, obor a poloměr konvergence. Vyložili jsme vlastnosti množiny kořenů mocninné řady a navázali větou o jednoznačnosti. Ukázali jsme, jak větu o jednoznačnosti použít k odvození vzorců v komplexním oboru (vzorců, které víme, že platí v reálném oboru).

9. prosince 2022
Vyřešili jsme rovnici cos(z)=3i.
Probrali jsme geometrický význam Taylorova polynomu 1. stupně a vrátili se k úlohám 11 až 14 ze začátku semestru. Připomněli jsme maticovou reprezentaci komplexního čísla, kterou jste viděli v algebře a řekli, jak souvisí s Cauchy-Riemannovými podmínkami.

2. prosince 2022
Vrátili jsme se k dotazům na důkaz základní věty algebry.
Vyřešili jsme rovnici sin(z)=2, vysvětlili, jak výsledek najdeme v barevném "grafu" sinu. V průběhu jsme ukázali odvození vzorce pro kořeny kvadratické rovnice, řekli, jak vzorec funguje v komplexním oboru, řekli, jak se řeší binomická rovnice (rovnice tvaru z^n=kompl. číslo) a že kořeny v Gaussově rovině tvoří vrcholy pravidelného n-úhelníku.
Ukázali jsme, jak ověříme, že sinus splňuje Cauchy-Riemannovy podmínky (shrnutí derivace, C-R podmínek).

25. listopadu 2022
Stručně jsme zopakovali důkaz základní věty algebry.
Zopakovali jsme z an3: exponenciální fukce je na reálném oboru rovna své Taylorově řadě a řada je absolutně konvergentní (a tedy i konvergentní). Z absolutní konvergence na reálném oboru plyne absolutní konvergence na komplexním oboru.
Absolutní konvergence umožňuje přerovnat řadu bez změny jejího součtu -- to jsme použili k důkazu exp(a+b)=exp(a)exp(b) pro komplexni a,b (použili jsme úlohy k úpravám exponenciální funkce).
Řekli jsme, jak jsou definovány funkce hyperbolický sinus a kosinus.
Řekli jsme, jak se počítá komplexní logaritmus (respektive jsme řešili rovnici exp(z)=-3+2i, rovnice má nekonečně mnoho řešení).

18. listopadu 2022
Se studenty odborného oboru jsme probrali výpočet integrálu exp(ax)cos(bx) třemi různými metodami, ve třetí metodě jsme použili komplexní čísla.
Probrali jsme zápis Fourierovy řady pomocí komplexní exponenciály, spočítali příklad.
Zopakovali jsme konstrukci čtyřprvkového tělesa z prvního ročníku a ukázali, jak se tato konstrukce dá interpretovat jako množina zbytkových tříd.

Se studenty učitelských oborů jsme probrali dotazy k videím (na sdíleném disku): grafické odmocňování (9 minut), rozklad reálného polynomu na součin (18 minut, na videu následuje důkaz základní věty algebry, ten jsme neprobírali), odvození vlastností komplexních čísel (40 minut).

Texty o podobném zobrazení a lineární funkci v komplexním oboru: můj text, z učebnice.

11. listopadu 2022
Rest z minula: úlohy 11 až 14 jsme neudělali, překládáme na příště.
Na základě studentských dotazů k důkazu základní věty algebry jsem doplnila do textu obrázky.
Dva desmosy k důkazu: obrazy kružnic, obrazy i s průvodičem znázorňujícím argument a počet oběhů okolo počátku.

Probrali jsme derivací, odvodili Cauchy-Riemannovy podmínky, zformulovali nutnou a postačující podmínku existence derivace, dokázali jsme, že je nutná a konstatovali jsme, že důkaz opačné implikace je jen obrácení úvah.
Zopakovali jsme Taylorovy řady funkcí exp, sin, cos, jak vypadají, že konvergují absolutně na celé reálné ose. Odtud plyne absolutní konvergence v C a odtud (důkaz stejný jako v reálném oboru) i konvergence v C. Pomocí Taylorových řad jsme definovali funkce exp, sin, cos v komplexním oboru, odvodili jsme Eulerův vztah. K dalším vztahům potřebujeme platnost exp(a+b) = exp(a) exp(b), hlavní myšlenka je v úloze na doma.
Budeme-li rychlí, zopakujeme, co víme o derivování mocninné řady člen po členu a řekneme, čím se liší reálný a komplexní obor (v komplexním oboru neexistuje obdoba funkcí x|x|, exp(-1/x^2) ohledně existence derivací a konvergence Taylorovy řady). Definujeme funkci holomorfní na otevřené množině a řekneme její vlastnosti.

4. listopadu 2022
Zopakovali jsme úlohy, probrali popis některých shodných a podobných zobrazení v komplexní rovině.

Začali jsme probírat derivaci, řekli v čem se liší a v čem ne od derivace v reálném oboru. Ukázali jsme, že absolutní hodnota a komplexní sdružení derivaci nemají, studenti mají za úkol ověřit, že pro polynomy je situace stejná jako v reálném oboru.

21. října 2022

Rozdáme úkoly.

Michal předvede důkaz Moivreovy věty.

K důkazu základní věty algebry:
Ukážeme, že na kruhu (a obecně jakékoliv množině) obsahujícím počátek jako vnitřní bod nejde definovat spojitou větev argumentu. Na základě domácího úkolu ukážeme, jak zavést spojitou větev argumentu na polorovinách a kruzích, které neobsahují počátek jako vnitřní bod.
V desmosu ukážeme obrazy kružnic polynomem (to zní divně, jak to napsat lépe?).
Dokončíme důkaz, že na obrazech kružnic polynomem jde za předpokladu, že neobsahují počátek, definovat spojitou větev argumentu.
Obrázky v desmosu zdůvodníme početně a ukážeme, že počet oběhů pro obrazy velkých ružnic je roven stupni polynomu a pro malé kružnice je roven nule. Znovu použijeme stejnoměrnou spojitost k nalezení sporu s předpokladem, že polynom nemá komplexní kořen. Tím bude důkaz dokončen.

Přednášky v prvních třech týdnech semestru (bez studentů druhého ročníku, kteří jsou na praxi)

První úlohy -- obsahují základní a rozšiřující část. Základní část by měli studenti zvládnout sami (mohou se na hodině zeptat nebo přijít na konzultaci).
Nápovědou k úloze 11 na grafické znázornění jsou úlohy 12 až 14.
Analogie úloh 12, 13 v desmosu.
Analogie úlohy 14 v desmosu, na obrázku 4.2 v textu J. Veselého.
Přechodem k argumentu a absolutní hodnotě dostaneme obrázky (z-1)/(z^2+z+1), sinus.

Definice komplexních čísel jako struktury se dvěma binárními operacemi a důkaz, že tato struktura je komutativním tělesem: strany 12 -- 14 (elektronicky 18 -- 20) textu kolegy Veselého, text sepsaný studentkami podle mojí přednášky.

Přehled dalších operací s komplexními čísly a jejich vlastností (na hodině jsme předvedli důkaz vlastností 9, 14).

Spojitost a limita: přehled najdete v textu kolegy Veselého (str. 14 -- 16, elektronicky plus 6).

Provedeme podrobný důkaz základní věty algebry, jehož hlavní myšlenku jste slyšeli v prvním semestru bakalářského studia od kolegy Plešingera. Použijeme k tomu vlastnosti spojitých funkcí a argument komplexního čísla, více na straně 88 (el. plus 6) textu kolegy Veselého.


Příklady k přípravě na zkoušku.