Požadavky ke zkoušce z Matematické analýzy 2 pro akademický rok 2024/25 (Prozatímní verze. Budu přidávat témata i odkazy na studijní opory.)

Písemná část

Typové příklady, postupně budu přidávat další podle odpřednášené látky. Na sdíleném disku najdete některé z nich vyřešené (pro přístup se přihlaste na svůj @tul.cz účet).
Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, vlastnoručně psaný tahák velikosti jedné strany A4 (odevzdáte ho s písemkou).
Zadání písemné části vyvěsím vždy po termínu na webu.

Ústní část

Typy důkazů.

Předveďte důkaz sporem, důkaz matematickou indukcí a nepřímý důkaz a vysvětlete jejich princip. Alespoň jednu větu zvolte z AN2, další můžete libovolně.

Limity.

Definice limity funkce v nevlastním bodě.
Definice nevlastní limity funkce.
Operace s nekonečny a věta o aritmetice limit.
Zdroj: přehled okolí, limit funkce a formulace věty o aritmetice limit.

Věta o sevřené funkci a její důkaz.
Zdroj: přednáška o goniometrických funkcích z doby online výuky.

Věta o limitě složené funkce, bez důkazu, použití při výpočtu.
Zdroj i s důkazem, který jsem neodpřednášela, na poslední straně najdete příklady.

Věta o L'Hospitalově pravidle.

Polynomy, racionální funkce.

Základní pojmy: polynom, stupeň polynomu, člen, koeficient, kořen polynomu. Věta o počtu kořenů polynomu i s důkazem. Rovnost polynomů jako výrazů a rovnost polynomů jako funkcí. Lemma o rovnosti polynomů i s důkazem, použití lemma na rozklad racionální funkce na součet parciálních zlomků.

Zdroje:
Text o polynomech.

Reálná čísla.

Axiomatická definice reálných čísel. Které axiomy použijeme k zavedení operací odčítání a dělení reálných čísel. Použití axiomů při úpravách nerovnice, vysvětlení na příkladu. Jak z axomů plyne, že můžeme dělit nenulovými čísly.
Důsledky axiomu suprema.

Zdroje:
Text o číselných množinách.

Goniometrické funkce.

Trigonometrická definice goniometrických funkcí. Odvození součtových vzorců pro sinus a kosinus. Odvození hodnot goniometrických funkcí pro vybrané úhly.

Definice goniometrických funkcí na jednotkové kružnici. Odvození hodnot goniometrických funkcí pro vybrané úhly. Odvození hodnoty limity sin(x)/x v nule pomocí věty o sevřené funkci. Jak se tato limita projeví na grafu funkce sinus. Jak se limita tg(x)/x v nule projeví na grafu funkce tangens.

Axiomatická definice goniometrických funkcí. Odvození vzorců pro sinus a kosinus dvojnásobného a polovičního argumentu. Odvození hodnot limit (1-cos(x))/x, (1-cos(x))/x^2 v nule, jak se první limita projeví na grafu funkce kosinus. Odvození vzorců pro derivace funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens.

Taylorovy polynomy funkcí sinus a kosinus.

Grafy a vlastnosti funkcí sin(1/x), x sin(1/x), x^2 sin(1/x).

Zdroje:
Definice goniometrických funkcí (prezentace).
Přednáška z online výuky:
Součtové vzorce na konci videa (posledních zhruba 30 minut a poslední dva skeny) video, skeny, stejné video na youtube s časovými značkami (pro spuštění se přihlaste na svůj @tul.cz účet).
Celá přednáška video, skeny, stejné video na youtube s časovými značkami (pro spuštění se přihlaste na svůj @tul.cz účet).

Mimo letošní program je odvození součtových vzorců na jednotkové kružnici:
prezentace o průmětu geometrických vektorů, loňská prezentace o grafickém odvození součtových vzorců pro kosinus, předloňská prezentace o součtových vzorcích početně i graficky.

Cyklometrické funkce.

Definice cyklometrických funkcí (arcsin, arccos, arctg, arccotg).
Použití cyklometrických funkcí na řešení rovnic.
Limity funkcí arctg, arccotg v plus a mínus nekonečnu.
Odvození vzorců pro derivace cyklometrických funkcí.

Zdroje:
Přednáška z online výuky: video, skeny, stejné video na youtube s časovými značkami (pro spuštění se přihlaste na svůj @tul.cz účet).

Exponenciální a logaritmické funkce.

Axiomatická definice exponenciální funkce, vlastnosti, derivace a limity exponenciální funkce a jejich odvození.
Definice logaritmické funkce. Vlastnosti (logaritmus součinu, podílu a mocniny) a jejich odvození. Derivace a její odvození. Limity exponenciální funkce a jejich odvození.
Definice exponenciální funkce a logaritmu s obecným základem.

Zdroje:
Teze k přednášce
Přednášky z online výuky:
Mocninné funkce, exponenciální funkce, v závěru definice logaritmické funkce video, skeny, stejné video na youtube s časovými značkami (pro spuštění se přihlaste na svůj @tul.cz účet).
Logaritmická funkce, v závěru úvod ke goniometrickým funkcím video, skeny, stejné video na youtube s časovými značkami (postupně doplňuji) (pro spuštění se přihlaste na svůj @tul.cz účet).

Řady.

Základní pojmy: řada, člen řady, posloupnost částečných součtů řady, součet řady. Řada, která má součet, konvergentní řada, příklady.
Nutná podmínka konvergence i s důkazem. Příklad řady, která splňuje nutnou podmínku konvergence a nekonverguje.
Geometrická řada, konečná a nekonečná, odvození vzorců pro její součet. Periodický desetinný rozvoj jako příklad geometrické řady, převedení na zlomek.
Absolutně konvergentní řady a neabsolutně konvergentní řady. Věta o konvergenci absolutně konvergentní řady i s důkazem. Limitní podílové kritérium absolutní konvergence řad a hlavní myšlenky důkazu.
Příklad přerovnání řady, které změní součet řady. Souvislost s absolutní konvergencí.
Integrální kritérium konvergence řad, použití na řady s členy a_k=1/k^a pro kladné číslo a.

Zdroje:
Učební text od strany 157.
K absolutní konergenci řad: video, sken.

Integrály.

Riemannův integrál omezené funkce na omezeném intervalu: integrální součty, dolní a horní Riemannův integrál. Riemannovsky integrovatelná funkce, Riemannův integrál. Příklad funkce, která není Riemannovsky integrovatelná.
Vlastnosti Riemannova integrálu (aditivita vůči intervalu, pozitivita, monotonie, linearita vůči integrovatelné funkci). Odvození pozitivity a monotonie a aditivity vůči intervalu.
Definice stejnoměrné spojitosti funkce na intervalu. Lemma o spojitosti stejnoměrně spojité funkce s důkazem pro otevřený interval. Věta o stejnoměrné spojitosti spojité funkce na uzavřeném intervalu. Příklad funkce f a intervalu I: funkce f je spojitána intervalu I, ale není stejnoměrně spojitá na intervalu I.
Věta o riemannovské integrovatelnosti funkce spojité na uzavřeném intervalu s hlavní myšlenkou důkazu, s celým důkazem. Integrál s proměnnou horní mezí, výpočet pro po částech lineární funkci. Věta o derivaci integrálu podle horní meze, hlavní myšlenka důkazu, celý důkaz.
Primitivní funkce na intervalu. Jednoznačnost primitivní funkce na intervalu až na konstantu i s důkazem. Základní vzorce primitivních funkcí a jejich odvození.
Věta o existenci primitivní funkce ke spojité funkci i s důkazem.
Newtonův integrál, newtonovská integrovatelnost, konvergence Newtonova integrálu.
Vlastnosti Newtonova integrálu. Odvození vlastností (linearita vůči integrované funkci, aditivita vůči intervalu, obojí pro konvergentní integrály, pozitivita, monotonie).
Metody výpočtu primitivních funkcí a Newtonova integrálu: per partes i s odvozením, věta o substituci i s důkazem, integrace racionální funkce pomocí rozkladu na parciální zlomky, integrace parciálních zlomků.
Rekurentní formule pro integrál mocnin sinu a kosinu i s odvozením.
Geometrické aplikace Riemannova integrálu i s odvozením: obsah pod grafem funkce, plocha mezi grafy funkce, objem rotačně symetrického tělesa, délka křivky, povrch rotačně symetrického tělesa.

Učební text, k rozličným tématům, používám ho v některých online lekcích.
Text o výpočtu integrálů.
Text Jiřího Veselého, Základy matematické analýzy: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jvesely/ma11-12/MA_I/ppma.pdf