Požadavky ke zkoušce z Matematické analýzy 2 pro akademický rok 2024/25 (Prozatímní verze. Budu přidávat témata i odkazy na studijní opory.)

Písemná část

Typové příklady, postupně budu přidávat další podle odpřednášené látky.
Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, vlastnoručně psaný tahák velikosti jedné strany A4 (odevzdáte ho s písemkou).
Zadání písemné části vyvěsím vždy po termínu na webu.

Ústní část

Typy důkazů.

Předveďte důkaz sporem, důkaz matematickou indukcí a nepřímý důkaz a vysvětlete jejich princip. Alespoň jednu větu zvolte z AN2, další můžete libovolně.

Limity.

Definice limity funkce v nevlastním bodě.
Definice nevlastní limity funkce.
Operace s nekonečny a věta o aritmetice limit.
Zdroj: přehled okolí, limit funkce a formulace věty o aritmetice limit.

Věta o sevřené funkci a její důkaz.
Zdroj: přednáška o goniometrických funkcích z doby online výuky.

Věta o limitě složené funkce, bez důkazu, použití při výpočtu.
Zdroj i s důkazem, který jsem neodpřednášela, na poslední straně najdete příklady.

Heineho věta o limitě funkce a limitě posloupnosti a důkaz jedné z implikací.

Věta o L'Hospitalově pravidle.

Goniometrické funkce.

Trigonometrická definice goniometrických funkcí. Odvození součtových vzorců pro sinus a kosinus. Odvození hodnot goniometrických funkcí pro vybrané úhly.

Definice goniometrických funkcí na jednotkové kružnici. Odvození hodnot goniometrických funkcí pro vybrané úhly. Odvození hodnoty limity sin(x)/x v nule pomocí věty o sevřené funkci. Jak se tato limita projeví na grafu funkce sinus. Jak se limita tg(x)/x v nule projeví na grafu funkce tangens.

Axiomatická definice goniometrických funkcí. Odvození vzorců pro sinus a kosinus dvojnásobného a polovičního argumentu. Odvození hodnot limit (1-cos(x))/x, (1-cos(x))/x^2 v nule, jak se první limita projeví na grafu funkce kosinus. Odvození vzorců pro derivace funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens.

Taylorovy polynomy funkcí sinus a kosinus.

Grafy a vlastnosti funkcí sin(1/x), x sin(1/x), x^2 sin(1/x).

Zdroje:
Definice goniometrických funkcí (prezentace).
Přednáška z online výuky:
Součtové vzorce na konci videa (posledních zhruba 30 minut a poslední dva skeny) video, skeny, stejné video na youtube s časovými značkami (pro spuštění se přihlaste na svůj @tul.cz účet).
Celá přednáška video, skeny, stejné video na youtube s časovými značkami (pro spuštění se přihlaste na svůj @tul.cz účet).

Mimo letošní program je odvození součtových vzorců na jednotkové kružnici:
prezentace o průmětu geometrických vektorů, loňská prezentace o grafickém odvození součtových vzorců pro kosinus, předloňská prezentace o součtových vzorcích početně i graficky.

Cyklometrické funkce.

Definice cyklometrických funkcí (arcsin, arccos, arctg, arccotg).
Použití cyklometrických funkcí na řešení rovnic.
Limity funkcí arctg, arccotg v plus a mínus nekonečnu.
Odvození vzorců pro derivace cyklometrických funkcí.

Zdroje:
Přednáška z online výuky: video, skeny, stejné video na youtube s časovými značkami (pro spuštění se přihlaste na svůj @tul.cz účet).