Informace k předmětu AMA
Program přednášek a cvičení
1. Týden 16. 9. - 20. 9. 2024
1) Opakování: lineární funkce
Lineární funkce: graf, vlastnosti, směrnice a její význam, nalezení lineární funkce procházející dvěma body. Funkce po částech lineární, absolutní hodnota.
2) Opakování: kvadratická funkce
Kvadratická funkce, vlastnosti. Grafy. Řešení kvadratické rovnice.
3) Opakování: Exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce
Základní vlastnosti uvedených funkcí, grafy, definiční obory, obory hodnot. Počítání s exponenty.
Sinus a kosinus v pravoúhlém trojúhelníku, na jednotkové kružnici. Hodnoty pro standardní úhly.
4) Opakování: derivace
Limita funkce (stručně). Derivace jako směrnice tečny. Vlastnosti derivací. Základní vzorce.
2. Týden 23. 9. - 27. 9. 2024
5) Opakování: počítání s derivacemi
Derivování funkcí.
6) Opakování: počítání s derivacemi
Použití derivace: průběh funkce (rostoucí, klesající, konvexní, konkávní, lokální extrémy).
7) Opakování: Určitý inetgrál, primitivní funkce a neurčitý integrál, integrování metodou per partes
Definice určitého integrálu. Pojmy primitivní funkce a neurčitý integrál. Výpočty. Princip metody per partes.
8) Opakování: Integrace
Výpočet určitého i neurčitého integrálu. Metody substituční a per partes v určitém i neurčitém integrálu.
3. Týden 30. 9. - 4. 10. 2024
9) Integrace - substituční metoda
Příklady.
10) Racionální funkce
Polynom, stupeň polynomu. Kořeny polynomů, jejich násobnost. Rozklad polynomu na kořenové činitele. Dělení polynomů. Racionální funkce, ryze a neryze racionální. Pojem parciálního zlomku.
11) Rozklad na parciální zlomky
Rozklad na parciální zlomky a následná integrace. Příklady.
12) Integrace
Rozklad na parciální zlomky.
4. Týden 7. 10. - 11. 10. 2024
13) Integrace
Rozklad na parciální zlomky.
14) Eukleidovský prostor
Definice n-rozměrného prostoru. Měření vzdálenosti. Vektory, velikost vektorů, operace s vektory, skalární součin. Okolí bodu, hraniční bod, otevřená a uzavřená množina.
15) Funkce více proměnných
Funkce dvou proměnných, příklady, grafy. Funkce n proměnných.
16) Derivace funkce více proměnných
Parciální derivace, definice, geometrický význam, výpočet.
5. Týden 14. 10. - 18. 10. 2024
17) Směrová derivace a gradient
Derivace ve směru, definice, význam. Gradient, jeho souvislost se směrovou derivací a význam.
18) Diferenciál
Definice diferenciálu. Základní vlastnosti, souvislosti s parciálními derivacemi. Využití diferenciálu: výpočet přibližné hodnoty číselného výrazu, chyba vypočtené veličiny, tečná rovina.
19) Derivace
Procvičování počítání derivací: parciální derivace, směrová derivace, gradient. Diferenciál.
20) Lokální extrémy
Lokální extrémy, minimum a maximum, definice. Stacionární body. Hledání lokálních extrémů. Rozhodnutí o jaký typ extrému se jedná: pomocí determinantů (Sylvestrovo kritérium).
6. Týden 21. 10. - 25. 10. 2024
21) Globální extrémy
Globální extrémy na (neprázdné) omezené a uzavřené množině. Weierstrassova věta. Příklady.
22) Dvojný integrál
Obrazec prvního a druhého druhu. Příklady (obdélník, trojúhelník, kruh apod.)
23) Dvojný integrál
Dvojný integrál - definice, základní vlastnosti. Výpočet - dvojnásobný integrál.
24) Dvojný integrál.
Cvičení - příklady.
7. Týden 28. 10. - 1. 11. 20244
25) Dvojný integrál
Procvičování.
26) Dvojný integrál - polární souřadnice
Polární souřadnice. Integrační obory v polárních souřadnicích a integrace v polárních souřadnicích. Jakobián. Příklady.
8. Týden 4. 11. - 8. 11. 2024
27) Dvojný integrál - aplikace
Obsah, hmotnost, těžiště, momenty setrvačnosti rovinného obrazce.
28) Integrační obory pro trojný integrál. Trojný integrál.
Kartézské, válcové, sférické souřadnice. Trojný integrál: definice, vlastnosti, výpočet - trojnásobný integrál.
29) Trojný integrál
Výpočet integrálu ve válcových a sférických souřadnicích.
30) Trojný integrál
Trojný integrál - příklady.
9. Týden 11. 11. - 15. 11. 2024
31) Aplikace trojného integrálu.
Objem, hmotnost a souřadnice těžiště tělesa. Momenty setrvačmosti.
32) Křivkový integrál
Křivka: definice, základní vlastnosti, orientace, jednoduchá křivka, uzavřená křivka, hladká a po částech hladká křivka. Parametrické rovnice: úsečka, kružnice a její část, křivka daná grafem spojité funkce.
33) 1. test
1. test: funkce více proměnných. Derivování: parciální derivace, směrová derivace, gradient. Diferenciál. Extrémy. Dvojný integrál: výpočet v kartézských i polárních souřadnicích, aplikace.
34) Křivkový integrál
Příklady, použití: délka křivky, hmotnost a těžiště křivky.
10. Týden 18. 11. - 22. 11. 2024
35) Křivkový integrál
Příklady.
36) Lineární diferenciální rovnice
Pojem (obyčejné) diferenciální rovnice. Obecné a partikulární řešení rovnice. Rovnice s počáteční podmínkou: Cauchyova úloha. Lineární diferenciální rovnice. Lineární závislost a nezávislost fukcí, wronskián. Fundamentální systém homogenní rovnice.
37) LDR 1. řádu
LDR 1, řádu: řešení. Homogenní rovnice a separace proměnných. Partikulární řešení nehomogenní rovnice: metoda variace konstanty. Cauchyova úloha.
38) LDR 1. řádu.
Cvičení - příklady.
11. Týden 25. 11. - 29. 11. 2024
39) Polynomy
Opakování: kořeny polynomiálních rovnic - reálné i komplexní, násobnost kořene, rozklad na kořenové činitele.
40) LDR s konstatními koeficienty
LDR s konstantními koeficienty. Charakteristická rovnice, její kořeny a řešení homogenní rovnice. Příklady.
41) LDR s konstantními koeficienty- speciální pravá strana
Sestavení partikulárního řešení podle speciálního tvaru pravé strany. Příklady.
42) Diferenciální rovnice ve fyzice
Příklady.
12. Týden 2. 12. - 6. 12. 2024
43) Matice
Lineární algebra: matice, součet součin, soustavy. Vlastní čísla, vlastní vektory matice.
44) Zobecněné vlastní vektory
Exponenciála matice, zobecněné vlastní vektory.
45) Soustavy LDR 1. řádu
Soustava diferenciálních rovnic, lineární soustava 1. řádu. Řešitelnost SOLDR 1. řádu. Řešení jako prostor, fundamentální systém, fundamentální matice. Řešení SOLDR 1. řádu: vlastní čísla a vlastní vektory. Komplexní vlastní čísla. Příklady.
46) 2. test
2. test: trojný a křivkový integrál. Lin. diferenciální rovnice: 1. řádu a rovnice s konst. koeficienty.
13. Týden 9. 12. - 13. 12. 2024
47) Soustavy LDR 1. řádu
Hledání řešení pro vícenásobná vlastní čísla, zobecněné vlastní vektory, exponenciála matice. Výpočet partikulárního řešení podle speciálního tvaru pravé strany.
48) Laplaceova transformace
Základní seznámení s Laplaceovou transformací, předmět a obraz, transformace jednoduchých funkcí dle definice. Slovník Laplaceovy transformace. Práce se slovníkem.
49) Laplaceova transformace a LDR s konstantními koeficienty
Použití Laplaceovy transformace na řešení LDR s konstantními koeficienty. Transformace rovnice a zpětná transformace řešení. Rozklad na parciální zlomky - připomenutí.
50) Laplaceova transformace a LDR s konstantními koeficienty
Použití Laplaceovy transformace na řešení LDR s konstantními koeficienty. Transformace rovnice a zpětná transformace řešení. Rozklad na parciální zlomky - připomenutí.
14. Týden 16. 12. - 20. 12. 2024
51) Soustavy LDR s konst. koeficienty
Řešení pomocí Laplaceovy transformace.
Rezerva
Učební texty a příklady
Doporučená literatura:
- Mezník I., Karásek J., Miklíček J.: Matematika pro strojní fakulty 1. Praha : SNTL, 1992.
- Brzezina M., Veselý J.: Obyčejné (lineární) diferenciální rovnice a jejich systémy. Liberec : TUL, 2012.
- Matematika online , VUT Brno.
Příklady k procvičování. Výsledky jsou jen částečně zkontrolovány, budu rád, když mě upozorníte na případné chyby.
Slovník Laplaceovy transformace.
Online kurz
Videa jsou umístěna google disku a přístupná google účtům
1. týden - Opakování
Opakování: lineární a kvadratická funkce. Derivace.
Videa:
Lineární funkce, poznámky
Kvadratické funkce, poznámky
Derivace, poznámky
2. týden - Opakování
Opakování: Primitivní funkce, neurčitý integrál. Integrování metodou per partes a substituční metodou.
Videa:
Neurčitý integrál, metoda per partes, poznámky
Neurčitý integrál, substituční metoda, poznámky
Derivace (záznam cvičení 6.10.), poznámky
3. týden - Opakování
Opakování: Primitivní funkce, neurčitý integrál, určitý integrál. Integrování racionální funkce a rozklad na parciální zlomky.
Téma pro cvičení: integrace.
Text o určitém integrálu. Doporučuji přečíst až do konce, obsahům a objemům se budeme věnovat a dokonce mnohem podrobněji u dvojného a trojného integrálu.
Text o integrování racionální funkce a rozkladu na parciální zlomky. Spousta těchto výpočtů se nám bude ještě hodit.
Videa:
Určitý integrál, (doporučuji nejprve přečíst výše uvedený text) poznámky
Integrování racionální funkce, (doporučuji nejprve přečíst výše uvedený text) poznámky
Integrál (záznam cvičení 13.10.), poznámky
4. týden - Funkce více proměnných
Eukleidovský prostor, funkce více proměnných, parciální a směrová derivace. Gradient.
Text shrnující základní pojmy, které budeme v dalším potřebovat a ve videích by nás zbytečně zdržovaly.
Videa:
Funkce dvou proměnných a jejich grafy, (doporučuji nejprve přečíst výše uvedený text) poznámky
Parciální derivace, poznámky
Téma pro cvičení: integrace racionální funkce a rozklad na parciální zlomky. Příklady na cvičení 21.10.
Integrace racionální funkce (záznam cvičení 20.10.), poznámky
Integrace (záznam cvičení 21.10.), poznámky
5. týden - Derivace funkce více proměnných
Diferenciál funkce více proměnných. Lokální extrémy - základní pojmy, hledání a klasifikace.
Text o determinantu. Budeme počítat pouze determinanty 2x2 a 3x3 matic, stačí nastudovat první dvě stránky.
Videa:
Diferenciál, poznámky
Lokální extrémy, poznámky
Téma pro cvičení: Grafy funkcí dvou proměnných, parciální derivace, gradient. Příklady na cvičení 27.10.
Funkce dvou proměnných - grafy, parciální derivace (záznam cvičení 27.10.), poznámky
6. týden - Globální extrémy, obory pro dvojný integrál
Globální extrémy spojité funkce na omezené uzavřené množině. Integrační obory pro dvojný integrál - ovrazce I. a II. druhu.
Videa:
Globální extrémy, poznámky
Obrazce I. a II. druhu, poznámky (Tady začínáme tzv. dvojný integrál. K čemu budou tyto obrazce potřeba se dozvíte příští týden.)
Téma pro cvičení: Derivace ve směru, diferenciál, lokální extrémy, extrémy na množině. Příklady na cvičení 3. a 4. 11.
Parciální a směrová derivace (záznam cvičení 3.11.), poznámky
Lokální extrémy (záznam cvičení 4.11.), poznámky
7. týden - Dvojný integrál
Integrační obory v kartézských a polárních souřadnicích. Příklady. Dvojný integrál: geometrická motivace, konstrukce.
Videa:
Integrační obory v polárních souřadnicích, poznámky
Dvojný integrál, poznámky
Téma pro cvičení: dokončení derivace. Obory pro dvojný integrál v kartézských a polárních souřadnicích. Dvojný integrál. Příklady na cvičení 10. a 11. 11.
Extrémy na uzavřené množině (záznam cvičení 10.11.), poznámky
Obrazce (záznam cvičení 11.11.), poznámky
Příklady k samostatnému procvičování - obrazce, řešení
8. týden - Dvojný integrál - použití
Výpočet. Substituce do polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu.
Videa:
Dvojný integrál-použití, poznámky
Téma pro cvičení: dvojné integrály a jejich aplikace. Příklady na cvičení 18. 11.
Dvojné integrály (záznam cvičení 18.11.), poznámky
Příklady k samostatnému procvičování - dvojný integrál, řešení
9. týden - Trojný integrál
Definice trojného integrálu, základní vlastnosti. Věta o trojnásobném integrálu, výpočet ve válcových a sférických souřadnicích. Aplikace.
Videa:
Obory pro trojný integrál, poznámky
Trojný integrál, poznámky
Trojný integrál ve válcových a sférických souřadnicích, poznámky
Trojný integrál - aplikace, poznámky
Cvičení:
Příklady na cvičení 24.-25.11. - trojný integrál
Dvojné a trojné integrály (záznam cvičení 24.11.), poznámky
Trojné integrály - část 1, část 2 (záznam cvičení 25.11.), poznámky
Příklady k samostatnému procvičování 5-6 - trojný integrál , řešení
10. týden - Křivkový integrál
Křivkový integrál (1. druhu), základní vlastnosti. Výpočet. Aplikace.
Videa:
Křivky, poznámky
Křivkový integrál, poznámky
Cvičení:
Příklady na cvičení 1.-2.12. - křivkový integrál
Trojné integrály (záznam cvičení 1.12.), poznámky
Křivkové integrály (záznam cvičení 2.12.), poznámky
Příklady k samostatnému procvičování 7 - křivkový integrál (křivkový integrál 2. druhu nebudeme probírat), řešení
11. týden - Diferenciální rovnice
Pojem (obyčejné) diferenciální rovnice. Obecné a partikulární řešení rovnice. Rovnice s počáteční podmínkou: Cauchyova úloha. Lineární diferenciální rovnice. Lineární závislost a nezávislost fukcí, wronskián. Fundamentální systém homogenní rovnice. LDR 1, řádu: řešení. Homogenní rovnice a separace proměnných. Partikulární řešení nehomogenní rovnice: metoda variace konstanty. Cauchyova úloha.
Videa:
Diferenciální rovnice - úvod, poznámky
LDR 1. řádu, poznámky
Cvičení:
Příklady na cvičení 8.-9.12. - LDR 1. řádu
OLDR (záznam cvičení 8.12.), poznámky
OLDR (záznam cvičení 9.12.), poznámky
12. týden - LDR s konstantními koeficienty
Opakování: kořeny polynomiálních rovnic - reálné i komplexní, násobnost kořene, rozklad na kořenové činitele. LDR s konstantními koeficienty. Charakteristická rovnice, její kořeny a řešení homogenní rovnice. Sestavení partikulárního řešení podle speciálního tvaru pravé strany. Příklady.
Videa:
Kořeny polynomů, poznámky
OLDR s konstantními keoeficienty - homogenní, poznámky
OLDR s konstantními keoeficienty - nehomogenní, poznámky
Cvičení:
Příklady na cvičení 15.-16.12. - OLDR n-tého řádu s konst. koeficienty
OLDR s konstantními koeficienty (záznam cvičení 15.12.), poznámky
OLDR s konstantními koeficienty (záznam cvičení 16.12.), poznámky
13. a 14. týden - Laplaceova transformace
Laplaceova transformace. Definice a základní vlastnosti. Přímá a zpětná Laplaceova transformace, slovník. Použití Laplaceovy transformace na řešení OLDR s konstantními koeficienty a jejich soustavy.
Videa:
Laplaceova transformace, poznámky
Laplaceova transformace a řešení OLDR, poznámky
Cvičení:
Příklady na cvičení leden 2021 - Laplaceova transformace
Laplaceova transformace (záznam cvičení 5.1.), poznámky
Laplaceova transformace a diferenciální rovnice (záznam cvičení 6.1.), poznámky
Laplaceova transformace a diferenciální rovnice (záznam cvičení 13.1.), poznámky
Zkouška
Písemka bude tvořena čtyřmi až pěti příklady z látky odpřednášené během semestru. Pro úspěch je potřeba získat alespoň 50 bodů ze 100 možných, počet získaných bodů pak rozhoduje o známce.
U písemky nemůžete používat sešit, skripta apod. Můžete si však vypracovat tahák v podobě jedné stránky formátu A4 (jednostranně). Tahák musí být ručně psaný originál, který odevzdáte spolu s písemkou. Na (případný) další termín si tak budete muset vypracovat tahák nový. Nedodržení těchto pokynů bude bráno jako opisování a zkouška bude hodnocena známkou 4. Dále je povoleno používat kalkulačku (myslí se klasická obyčejná neprogramovatelná kalkulačka, nelze využít např. kalkulačku na mobilu apod.) a slovník Laplaceovy tranformace.
Ukázky zkouškového testu: 1, 2, 3.