Požadavky ke zkoušce z Matematické analýzy 1 pro akademický rok 2024/25 (prozatímní verze)

Písemná část

Typové úlohy (pdf)
Další úlohy na procvičení (složka se soubory pdf)

Ústní část

Zobrazení, funkce. vymezení pojmů, co mají společného, čím se liší. Obraz a vzor, vysvětlení na konkrétních příkladech zobrazení a funkce. Slovní a formální definice pojmů: obor hodnot funkce, prostá funkce, graf funkce.
Zdroje:
video (asi 20 minut) o WolframAlpha; o jednom způsobu, jak nakreslit graf kvadratické funkce a jak spočítat vrchol paraboly (do asi 8:30), řešení nerovnice pomocí grafů pravé i levé strany demonstrujeme nejdříve na covidu a od 13:30 na kvadratické rovnici.
video (asi 12 minut), Dotazník k videu,
[MŠ] 1.1 -- co je funkce, co je graf funkce a na straně 39 úloha týmu profesora Kubáčka.
Dotazníky z didaktického semináře na procvičení čtení informací z grafů a význam přírůstků: první formulář, druhý formulář.
(Několik grafů funkcí -- zatím jen pro zajímavost, v požadavcích bude v příštím semestru.)
K úloze 1 písemné části jsou řešené příklady v 5.2 na straně 66 v [MŠ].
K úloze 2 písemné části je řešený příklad v 2.1.2, začíná na staně 34 v [MŠ].

Derivace podle Newtona a Leibnize.
Přírůstek funkce, přírůstek proměnné, vysvětlení na grafu funkce. Ilustrace přírůstku druhé a třetí mocniny na obsahu čtverce a objemu krychle.
Definice derivace podle Newtona a Leibnize.
Vzorce a jejich odvození:
derivace součtu, násobku, součinu, podílu, složené funkce, inverzní funkce. Vzorec pro derivaci mocniny a jeho odvození (matematická indukce, derivace součinu). Vzorec pro derivaci odmocniny a jeho odvození (derivace inverzní funkce). Vzorec pro derivaci mínus první mocniny a jeho odvození. Vzorec pro derivaci mocniny s racionálním exponentem a jeho odvození (derivace složené funkce). Vzorec pro derivaci mínus první mocniny a jeho odvození.
Derivace funkce v bodě, derivace funkce, vymezení pojmů, čím se liší.
Zdroje:
[MŠ] 1.2 přírůstek funkce.
an1_derivace_podle_Newtona.pdf derivace podle Newtona, základní definice, úlohy, videa k textu.
Rozšiřující zdroje (derivace je nejdůležitější pojem celé analýzy):
Video o Newtonovi, Boltovi a derivaci z Khanovy akademie.
Ze seriálu od 3blue1brown Essence of calculus se derivací týkají díly:
Druhý díl: výklad derivace podle Newtona.
Třetí díl: geometrické odvození vzorců pro derivace druhé mocniny, třetí mocniny, n-té mocniny, převrácené hodnoty, (návod pro odmocninu), sinu.
Čtvrtý díl: vizualizace vzorců pro derivaci součinu a složené funkce.
Z přednášek Zbyňka Kubáčka:
Lesk a bída nekonečně malých
Co bych pověděl studentům před první přednáškou z matematické analýzy

Taylorův polynom.
Definice Taylorova polynomu. (později probereme jeho další vlastnosti)
Zdroje:
Text o Taylorovu polynomu

Spojitost funkce.
Definice pojmů: spojitost funkce v bodě, jednostranná spojitost v bodě, demonstrace definice na grafu, kreslení okolí do grafu. Důkaz, že identická funkce a konstantní funkce jsou spojité ve všech bodech definičního oboru.
Absolutní hodnota. Trojúhelníková nerovnost a její důkaz.
Věta o spojitosti a aritmetických operacích, hlavní myšlenky důkazu. Důsledek věty: spojitost polynomů.
Zdroje:
Text o spojitosti, kromě definic základních pojmů obsahuje příklady, věty, důkazy, prezentace o spojitosti v bodě.

Posloupnosti.
Definice základních pojmů: posloupnost, monotonní (rostoucí, nerostoucí, klesající, neklesající) posloupnost, posloupnost omezená shora, omezená zdola, omezená.
Supremum (nejmenší horní hranice) množiny.
Limita posloupnosti, důkaz, že posloupnost a_n=1/n má limitu nula, konstantní posloupnost a_n=c má limitu rovnu c. Věta o aritmetice limit (VAL), hlavní myšlenka důkazu. Použití VAL při výpočtu limit. Věta o existenci limity neklesající shora omezené posloupnosti.
Definice vybrané posloupnosti. Lemma o limitě vybrané posloupnosti i s důkazem. Důkaz, že posloupnost a_n=(-1)^n nemá limitu.
Konvergentní a omezená posloupnost: Lemma o omezenosti konvergentní posloupnosti i s důkazem. Příklad posloupnosti, která je omezená, ale není konvergentní. Věta o existenci vybrané konvergentní posloupnosti z omezené posloupnosti, z důkazu jen konstrukce vybrané poslopunosti, proč je konvergentní jen intuitivně.
Věta o jednoznačnosti limity i s důkazem.
Definice Cauchyovské posloupnosti. Lemma o konvergentní a Cauchyovské posloupnosti i s důkazem. Věta o konvergentní a Cauchyovské posloupnosti, hlavní myšlenky důkazu. Příklad Cauchyovské posloupnosti racionálních čísel, která nemá limitu v oboru racionálních čísel.
Zdroje:
Text o posloupnostech.
Z kapitoly 6 Učebního textu podkapitoly:
6.3 limita posloupnosti,
6.6 řešené příklady.
Nad rámec odpřednášeného doporučuji vaší pozornosti i podkapitoly 6.1, 6.2.

Vlastnosti spojitých funkcí na intervalech.
Věta o kořeni spojité funkce i s hlavní myšlenkou důkazu.
Důsledek věty i s důkazem. Použití důsledku na řešení nerovnic.
Věta o nabývání mezihodnot spojité funkce i s důkazem.
Věta o oboru hodnot spojité funkce i s důkazem.
Věta o monotonní funkci a její spojitosti.
Věta o spojitosti inverzní funkce.
Použití na mocninné funkce a odmocniny.

Typy důkazů.
Předveďte důkaz sporem a důkaz matematickou indukcí. Věty, které budete dokazovat, zvolte libovolně.