Požadavky a informace ke zkoušce z Matematické analýzy 1 pro akademický rok 2024/25 (Téměř definitivní verze. Budu jen drobně upravovat a přidávat odkazy na studijní opory.)

Písemná část

Bude obsahovat pět příkladů, které typově odpovídají příkladům z pdf. Na písemku budete mít zhruba dvě hodiny, přitom v případě potřeby vám čas přidám. K úspěšnému absolvování písemné části je třeba správně zpracovat tři a půl příkladu, přitom za polovinu je považován příklad zcela spočítaný, ale s numerickou chybou.
Příklady budou mít dvě varianty, v zadání bude jedna z nich označena hvězdičkou. Můžete si v tom případě vybrat a hvězdičková varianta se v hodnocení počítá jako jeden a půl příkladu. K úspěšnému absolvování písemné části tedy například stačí zpracovat bezchybně tři příklady, pokud alespoň jeden z nich bude hvězdičková varianta příkladu. Hvězdičková varianta bude buď obtížnější než nehvězdičková, nebo se bude její zadání více odchylovat od úloh ve výše odkázaném pdf souboru, případně bude obsahovat otázku k teorii potřebné k vyřešení nehvězdičkové varianty. Pro představu se podívejte na loňské písemky.
Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, vlastnoručně psaný tahák velikosti jedné strany A4 (odevzdáte ho s písemkou).
Zadání písemné části vyvěsím vždy po termínu na webu.

Ústní část

Téměř definitivní verze. Budu jen drobně upravovat a přidávat odkazy na studijní opory.

Na ústní část si můžete připravit tahák, který bude obsahovat až pět důkazů. Před písemkou odevzdáte sepsaná tvrzení, jejichž důkazy jste si na taháku připravili. Při zkoušení (samozřejmě) nebude stačit důkaz přečíst, budete ho vysvětlovat.

V textu jsou odkazy na videa z doby online výuky umístěná na youtube. Videa jsou nahraná jako soukromá a k jejich spuštění se přihlašte ke googlu pod svým tul.cz účtem.

Typy důkazů.
Předveďte důkaz sporem a důkaz matematickou indukcí a vysvětlete jejich princip. Věty, které budete dokazovat, zvolte libovolně.

Zobrazení, funkce. vymezení pojmů, co mají společného, čím se liší. Obraz a vzor, vysvětlení na konkrétních příkladech zobrazení a funkce. Slovní a formální definice pojmů: obor hodnot funkce, prostá funkce, graf funkce.
Zdroje:
video (asi 20 minut) o WolframAlpha; o jednom způsobu, jak nakreslit graf kvadratické funkce a jak spočítat vrchol paraboly (do asi 8:30), řešení nerovnice pomocí grafů pravé i levé strany demonstrujeme nejdříve na covidu a od 13:30 na kvadratické rovnici.
video (asi 12 minut), Dotazník k videu,
[MŠ] 1.1 -- co je funkce, co je graf funkce a na straně 39 úloha týmu profesora Kubáčka.
Dotazníky z didaktického semináře na procvičení čtení informací z grafů a význam přírůstků: první formulář, druhý formulář.
(Několik grafů funkcí -- zatím jen pro zajímavost, v požadavcích bude v příštím semestru.)
K úloze 1 písemné části jsou řešené příklady v 5.2 na straně 66 v [MŠ].
K úloze 2 písemné části je řešený příklad v 2.1.2, začíná na staně 34 v [MŠ].

Derivace podle Newtona a Leibnize.
Přírůstek funkce, přírůstek proměnné, vysvětlení na grafu funkce. Ilustrace přírůstku druhé a třetí mocniny na obsahu čtverce a objemu krychle.
Definice derivace podle Newtona a Leibnize.
Vzorce a jejich odvození:
derivace součtu, násobku, součinu, podílu, složené funkce, inverzní funkce. Vzorec pro derivaci mocniny a jeho odvození (matematická indukce, derivace součinu). Vzorec pro derivaci odmocniny a jeho odvození (derivace inverzní funkce). Vzorec pro derivaci mínus první mocniny a jeho odvození. Vzorec pro derivaci mocniny s racionálním exponentem a jeho odvození (derivace složené funkce). Vzorec pro derivaci mínus první mocniny a jeho odvození.
Derivace funkce v bodě, derivace funkce, vymezení pojmů, čím se liší.
Zdroje:
[MŠ] 1.2 přírůstek funkce.
an1_derivace_podle_Newtona.pdf derivace podle Newtona, základní definice, úlohy, videa k textu.
Rozšiřující zdroje (derivace je nejdůležitější pojem celé analýzy):
Video o Newtonovi, Boltovi a derivaci z Khanovy akademie.
Ze seriálu od 3blue1brown Essence of calculus se derivací týkají díly:
Druhý díl: výklad derivace podle Newtona.
Třetí díl: geometrické odvození vzorců pro derivace druhé mocniny, třetí mocniny, n-té mocniny, převrácené hodnoty, (návod pro odmocninu), sinu.
Čtvrtý díl: vizualizace vzorců pro derivaci součinu a složené funkce.
Z přednášek Zbyňka Kubáčka:
Lesk a bída nekonečně malých
Co bych pověděl studentům před první přednáškou z matematické analýzy

Taylorův polynom.
Definice Taylorova polynomu. Zbytek Taylorova polynomu. Lagrangeův tvar zbytku i s odvozením.
Zdroje:
Text o Taylorovu polynomu
Video z online výuky, sken k videu, pokračování videa (necelých 50 minut), sken k videu,

Spojitost funkce.
Definice pojmů: spojitost funkce v bodě, jednostranná spojitost v bodě, demonstrace definice na grafu, kreslení okolí do grafu. Důkaz, že identická funkce a konstantní funkce jsou spojité ve všech bodech definičního oboru.
Absolutní hodnota. Trojúhelníková nerovnost a její důkaz.
Věta o spojitosti součtu a součinu spojitých funkcí, hlavní myšlenky důkazu. Důsledek věty: spojitost polynomů.
Zdroje:
Text o spojitosti, kromě definic základních pojmů obsahuje příklady, věty, důkazy, prezentace o spojitosti v bodě.

Posloupnosti.
Definice základních pojmů: posloupnost, monotonní (rostoucí, nerostoucí, klesající, neklesající) posloupnost, posloupnost omezená shora, omezená zdola, omezená.
Supremum (nejmenší horní hranice) množiny.
Limita posloupnosti, důkaz, že posloupnost a_n=1/n má limitu nula, konstantní posloupnost a_n=c má limitu rovnu c. Věta o aritmetice limit (VAL), hlavní myšlenka důkazu. Použití VAL při výpočtu limit. Věta o existenci limity neklesající shora omezené posloupnosti.
Definice vybrané posloupnosti. Lemma o limitě vybrané posloupnosti i s důkazem. Důkaz, že posloupnost a_n=(-1)^n nemá limitu.
Konvergentní a omezená posloupnost: Lemma o omezenosti konvergentní posloupnosti i s důkazem. Příklad posloupnosti, která je omezená, ale není konvergentní. Věta o existenci vybrané konvergentní posloupnosti z omezené posloupnosti, z důkazu jen konstrukce vybrané poslopunosti, proč je konvergentní jen intuitivně.
Věta o jednoznačnosti limity i s důkazem.
Definice Cauchyovské posloupnosti. Lemma o konvergentní a Cauchyovské posloupnosti i s důkazem. Věta o konvergentní a Cauchyovské posloupnosti, hlavní myšlenky důkazu. Příklad Cauchyovské posloupnosti racionálních čísel, která nemá limitu v oboru racionálních čísel.
Zdroje:
Text o posloupnostech, videa k vybraným částem textu.
Video z online výuky, sken k videu.
Z kapitoly 6 Učebního textu podkapitoly:
6.3 limita posloupnosti,
6.6 řešené příklady.
Nad rámec odpřednášeného doporučuji vaší pozornosti i podkapitoly 6.1, 6.2.

Vlastnosti spojitých funkcí na intervalech.
Věta o kořeni spojité funkce i s hlavní myšlenkou důkazu.
Důsledek věty i s důkazem. Použití důsledku na řešení nerovnic.
Věta o nabývání mezihodnot spojité funkce i s důkazem.
Věta o oboru hodnot spojité funkce i s důkazem.
Věta o monotonní funkci a její spojitosti.
Věta o spojitosti inverzní funkce.
Použití na mocninné funkce a odmocniny.
Definice odmocniny, vlastnosti mocninných funkcí a odmocnin (monotonie, definiční obor, obor hodnot, lichost, sudost, spojitost).
Monotonie funkcí (speciálně druhé mocniny) a ekvivalentní úpravy nerovnic.
Weierstrassova věta o extrémech spojité funkce na uzavřeném intervalu.
Zdroje:
Metody řešení nerovnic: text o metodách (jednou z nich je použití důsledku věty o kořeni), video z online výuky, sken k videu
Důkaz věty o kořeni: video z online výuky, sken k videu

Limity funkcí (vlastní ve vlastních bodech). Definice limity, jednostranných limit (zleva a zprava). Věta o limitě a spojitosti i s důkazem.
Zdroje:
Text o limitách funkce.

Derivace.
Jednostranné derivace. Lemma o znaménku derivace. Definice lokálního extrému funkce. Nutná podmínka existence lokálního extrému. Věty o střední hodnotě (Rolle, Lagrange). Postačující podmínka pro monotonii funkce. Postačující podmínka existence lokálního extrému.
Diferencovatelnost funkce, věta o spojitosti diferencovatelné funkce i s důkazem.
Zdroje:
Rolleova, Lagrangeova věta o střední hodnotě: video z online výuky, sken k videu.
Text o limitách a derivaci.