Na sdíleném disku skladujeme materiály k přednášce včetně studentských řešení úloh. Pro vstup je třeba, abyste byli přihlášeni přes svůj školní účet.

Požadavky k ústní zkoušce (definitivní verze).

Videa:
Důkaz Riemannovské integrovatelnosti spojité funkce -- video, prezentace k videu, další prezentace k Riemannovu integrálu.
Limity -- monotonní funkce, složené funkce, limita a derivace funkcí exp(-1/x^2), x^2 sin(1/x) -- video, sken k videu, desmos.
Odvození součtových vzorců ze začátku semestru -- video, sken k videu.


Přednáška 27. 5. 2022
Spočítali jsme limity polynom/exp v nekonečnu a mocnina krát log v nule.
Probrali jsme Newton-Leibnizovu větu a hlavní myšlenky jejího důkazu. Zároveň s tím jsme definovali nevlastní Riemannův integrál.
Probrali jsme integrální kritérium konvergence řad a ukázali, že řada 1/k^exponent konverguje pro exponent větší než jedna (dosud jsme věděli pro exponent alespoň dva).
Nechali jsme vykreslit graf funkce x^2 sin(1/x), spočítali derivaci mimo nulu, konstatovali, že v nule má spojité rozšíření této funkce derivaci rovnu nule (počítat ji je třeba pomocí definice) a derivace tedy není spojitá funkce.
(Na parciální zlomky a základní pojmy vektorových prostorů -- kapitoly 3.4--5 čas nezbyl).

Cvičení 24. 5. 2022
Věnovali jsme se úlohám na geometrické aplikace integrálů.

Přednáška 20. 5. 2022
Stručně jsme zopakovali definici Riemannova integrálu -- prohlédli jsme si grafické znázornění vybraných pojmů a vztahů mezi nimi:
dolní a horní součet a nerovnost mezi nimi
další vztahy mezi dolními a horními součty a z nich plynoucí nerovnost mezi dolním a horním Riemannuvým integrálem, příklad Dirichletovy funkce.

Vyložili jsme vlastnosti Riemannova a Newtonova integrálu, k aditivitě integrálu vzhledem k integračnímu oboru probraném pro pro Newtonův integrál jsme přidali aditivitu vzhledem k integrované funkci, linearitu, pozitivitu, monotonii, integrál z konstantní funkce -- viz přehled s komentářem, náznakem důkazů.

Probrali jsme derivaci Riemannova integrálu podle horní meze i s důkazem.
Odvodili jsme vzorce pro obsah plochy mezi dvěma křivkami, délku křivky, objem a povrch rotačně symetrického tělesa -- text k aplikacím integrálů.

Cvičení 17. 5. 2022
Probírali jsme příklady na integrály z úloh ke zkoušce.

Přednáška 13. 5. 2022
Dokončili jsme důkaz z posledního cvičení/přednášky o aditivitě Newtonova integrálu vzhledem k integračnímu oboru. Napsali a dokázali jsme větu o substituci pro Newtonův integrál.

Cvičení a přednáška 10. 5. 2022
Procvičovali jsme metodu per partes. Počítali jsme neurčitý integrál z kosinu na druhou -- metodou per partes, převedením na kosinus dvojnásobného argumentu a předvedli jsme ještě jednu metodu pro určitý integrál v mezích 0, pi/2.
Odvodili jsme (metodou per partes) rekurentní vzorec pro integrál z kosinu na n-tou.
Počítali jsme integrál obsahující absolutní hodnotu jako motivační příklad pro zobecněnou primitivní funkci. Pomocí zobecněné primitivní funkce jsme definovali Newtonův integrál. Řekli jsme, co to znamená, že Newtonův intrgrál konverguje. Zformulovali jsme větu o aditivitě vzhledem k integračnímu oboru konvergujícího Newtonova integrálu, řekli jsme návod k důkazu, v pátek důkaz dokončíme.

Cvičení 3. 5. 2022
Věnovali jsme se úlohám z 3.3 textu o výpočtu integrálů.
Vysvětlili jsme použití rekurentní formule a metodu per partes. Diskutovali jsme rozklad na parciální zlomky -- proč funguje? Slíbila jsem sepsat základní myšlenky do kapitoly o integraci racionální funkce -- viz nové pdf.

Přednáška 29. 4. 2022
Probírali jsme Riemannův integrál podle [JV2], str. 296 -- 313, kapitola 11.2, definice, věty číslo 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 25. Zbývá probrat 23, 24, 43, 44, 46, 48.

Cvičení 26. 4. 2022
Řešili jsme úlohy z 4.3, 4.5 textu o výpočtu integrálů.
Počítali jsme obsah mnohoúhelníku a řekli, jak souvisí s Riemannovým integrálem s proměnnou horní mezí a s primitivní funkcí.

Přednáška 22. 4. 2022
Probírali jsme substituci v integrálu.
V závěru hodiny jsme udělali příklad na výpočet obsahu mnohoúhelníku.

Cvičení 19. 4. 2022
Probírali jsme úlohy na procvičení z prvních dvou kapitol textu o výpočtu integrálů.

Cvičení 12. 4. 2022
Věnovali jsme se úlohám 7, 10 až 12 na řady.
Ve zbylém čase jsme navázali přednáškou: ukázali jsme, jak Eulerovo číslo vyjádřit jako součet řady a ukázali jsme, že Eulerovo číslo je iracionální.

Přednáška 8. 4. 2022
Probrali jsme podílové a limitní podílové kritérium absolutní konvergence řad a Leibnizovo kritérium konvergence řad.

Cvičení 5. 4. 2022
Probrali jsme úlohy 11, 21 k písemné části zkoušky.
Z úloh na řady jsme probrali 4ab, 5a, 6 a na úloze 5a jsme vysvětlili, co s úlohou 7a.

Přednáška 1. 4. 2022
Probrali jsme absolutně konvergentní řady, řady s nezápornými členy a z kritérií konvergence srovnávací a limitní srovnávací kritérium.

Cvičení 29. 3. 2022
Probrali jsme třetí úlohu z úloh na řady.
Probírali jsme úlohy ke zkoušce. (Pokyny: pracujte stejně jako u zkoušky, tedy pokud píšete nanečisto a přepisujete, dělejte to stejně a do čistopisu pak napište jen to podstatné i s komentářem.)

Přednáška 25. 3. 2022
Tématem přednášky jsou nekonečné součty (ne příliš šikovný termín je řady).
Na začátku přednášky jsme předvedli převod periodického desetinného rozvoje na zlomek. Poté jsme odvodili vzorec pro součet konečné geometrické řady (a ještě pro řadu s šleny 1/(k(k+1)) jako procvičení na manipulaci se sumou). Pak jsme vysvětlili základní pojmy řad (člen řady, částečný součet řady, součet řady, konvergentní řada) a odvodili vzorec pro součet nekonečné geometrické řady (a výše zmíněné řady s členy 1/(k(k+1))). Předvedli jsme převod periodického desetinného rozvoje na geometrickou řadu a sečetli jsme ji.
Jako ukázku úskalí při manipulaci s nekonečnými součty jsme předvedli tři příklady z kapitoly 12, str. 147 textu [MŠ].
Řekli jsme, co je nutná podmínka konvergence řady (i s důkazem).
Řekli jsme, co je harmonická řada, ukázali jsme, že má nekonečný součet přestože splňuje nutnou podmínku konvergence. Přitom jsme zopakovali souvislost pojmů: podmnožina, implikace, nutná a postačující podmínka.

Cvičení 22. 3. 2022
Věnovali jsme se úlohám na exponenciální a logaritmické funkce.

Přednáška 18. 3. 2022
Věnovali jsme se exponenciální a logaritmické funkci a L'Hospitalovu pravidlu.

Cvičení 15. 3. 2022
Probírali jsme úlohy na cyklometrické funkce.

Přednáška 11. 3. 2022
Probrali jsme úlohy 7e,f na středoškolské goniometrické funkce.
Definovali jsme cyklometrické funkce (arcsin, arccos, arctg, arccotg), odvodili jsme vzorce pro jejich derivace.
Probírali jsme limity cyklometrických funkcí, zopakovali jsme, jak souvisí limita monotonní funkce se supremem/infimem.
Opakovali jsme limitu složené funkce, zaměřili jsme se na případ monotonní vnitřní funkce. Nestihli jsme větu o limitě součinu omezené funkce a funkce s nulovou limitou.

Cvičení 8. 3. 2022
Procházeli jsme úlohy 7, 8 z prvního cvičení a úlohy 7, 8, 9 10a z minulého cvičení. Vrátili jsme se (velmi stručně) k úloze 4, u úlohy 4a zbývá zdůvodnit, proč graf cos(x-4) vznikne posunutím grafu kosinu -- jak to bude například u funkce cos(5-2x)?

Přednáška 4. 3. 2022
Přednášku jsem zrušila pro nemoc.

Cvičení 1. 3. 2022
Z úloh na goniometrické funkce jste se s kolegou Čeňkem dopracovali až za úlohu 5.

Přednáška 25. 2. 2022
Cíl přednášky: Probrat goniometrické funkce, definici, některé vlastnosti; odvodit vzorce pro derivace.

Ukázali jsme, že limita sin(x)/x je pro x->0 zprava (v radiánech) rovna jedné. Použili jsme trigonometrickou definici goniometrických funkcí a větu o sevřené funkci. Větu o sevřené funkci (další názvy jsou o třech limitách, o dvou policajtech) jsme zformulovali a dokázali.
K definicím goniometrických funkcí, které jsme zopakovali na cvičení (triginometrická, na jednotkové kružnici) jsme přidali axiomatickou definici (obdoba 6.6.3 v [JV], místo rozdílových vzorců jsme použili součtové a Pytagorovu větu, souvislosti viz úloha (*9) z posledního cvičení).
Odvodili jsme vzorec pro derivaci sinu. Řekli jsme geometrický význam derivace sin(x)/x v nule.
Zopakovali jsme Taylorův polynom stupně jedna a dva a napsali vzorec pro Taylorův polynom stupně n.
Ukázali jsme použití věty o limitě složené funkce na několika příkladech (věta 4.4.1, str. 128 [JV]).
Větu o limitě složené funkce jsme dělali v rychlosti, bude-li třeba dovysvětlit, budeme se jí věnovat na cvičení.
Nestihli jsme odvodit součtové vzorce z definice na jednotkové kružnici, zde je video, sken k videu.

Cvičení 22. 2. 2022
Probrali jsme úlohy 1 až 5 a část úlohy 6 na goniometrické funkce.