Cvičení 14. a 15. 1. 2020
Zbývá: úlohy 1 a část 4 na derivace (k ústní zkoušce),
závěr druhé a úloha 3 na globální extrémy,
úlohy 3, 6, 7, 8 na dvojné integrály.
Úlohy ke zkoušce.
Přednáška 8. 1. 2020
Probrali jsme substituci do polárních souřadnic ve dvojných integrálech, počítali jsme objem Vivianiho tělesa.
Řekli jsme definici konvergentní a Cauchyovské posloupnosti v metrických prostorech a definici úplného metrického prostoru. Konstatovali jsme, že reálná čísla se standardní metrikou (danou vzdáleností bodů na reální ose) jsou úplným metrickým prostorem a racionální čísla nejsou. Uvedli jsme příklad Cauchyovské posloupnosti racionálních čísel, která nemá racionální limitu (postupně přidáváme desetinná čísla rozvoje odmocniny ze dvou).
Cvičení 7. 1. 2020
Vysvětlili jsme (snad konečně pořádně) úlohu 1a na spojité rozšíření,
k příkladu 4 na derivace jsme zopakovali větu zaručující rovnost smíšených derivací a
věnovali jsme se příkladům 1, 2, 4 na dvojné integrály.
Přednáška 18. 12. 2019
Věnovali jsme se dvojným integrálům. Řekli jsme stručně definici (limita integrálních součtů). Řekli jsme, že jsou dva způsoby sčítání -- po řádcích a po sloupcích a tomu odpovídají dva druhy řezů. Definovali jsme tyto řezy, udělali příklady. Pak jsme formulovali Fubiniovu větu a pomocí ní spočítali příklad. Na závěr jsme napsali vzorce na výpočet obsahu, objemu a těžiště rovinného obrazce.
Cvičení 17. 12. 2019
Probrali jsme pomocné úlohy a s jejich pomocí vysvětlili úlohu 4 na silnou a slabou derivaci.
Přednáška 11. 12. 2019
Věnovali jsme se metrickým prostorům:
definovali jsme otevřené množiny, uzavřené množiny, definice jsme nepsali na tabuli, ale ústně jsme vysvětlili a dále jsme používali pojmy: okolí bodu x v prostoru (otevřená koule se středem v x), konvergence bodů x_n k bodu x.
Definovali jsme: vnitřní bod, vnější bod, hromadný bod, hraniční bod, izolovaný bod, limitní bod;
dále: vnitřek, hranici a uzávěr množiny.
Formulovali jsme větu: na omezené uzavřené množině nabývá spojitá funkce max a min, zopakovali jsme Weierstrassovu větu s obrázkem a hlavní myšlenkou důkazu.
Věnovali jsme se cvičením z [JV2] 12.4.28, 12.4.27 1 a 2, zamýšleli jsme se i nad 3, ale to jsme nevymysleli. U všeho jsme kreslili obrázky a dávali příklady z R nebo R^2.
Cvičení 10. 12. 2019
Probírali jsme metrické prostory:
definice metriky, metrického prostoru (MP);
poznámka, že v definici MP lze některé vlastnosti vynechat (a ukázat, že plynou z ostatních);
definice normy, normovaného lineárního vektorového prostoru (LVP);
věta+důkaz: Normovaný LVP indukuje metriku;
definice 1-normy, Eukl normy, max normy, p-normy;
příklad: obrázky jednotkových kružnic prvních třech norem;
V+D: Norma na LVP je spojitá funkce;
definice otevřené koule, uzavřené koule, sféry.
Rozebírali jsme úlohu 4 na silnou a slabou derivaci.
Přednáška 4. 12. 2019
Zúčastnili jsme se workshopu o metodě profesora Hejného.
Omlouvám se za chybnou informaci o místě těm, kteří dorazili a nevydrželi čekat (průběžně jsem se pohybovala po chodbě, abych případné zájemce odchytila).
Cvičení 3. 12. 2019
Udělali jsme první a část druhé úlohy na globální extrémy.
Přednáška 27. 11. 2019
Definovali jsme globální (vázaný) extrém, omezenou množinu, řekli intuitivní definici uzavřené množiny a vyslovili větu o existenci extrémů spojité funkce na uzavřené omezené podmnožíně roviny (vícerozměrná analogie Weierstrassovy věty o existenci extrému spojité funkce na uzavřeném omezeném intervalu).
Počítali jsme příklady na globální extrémy.
Cvičení 26. 11. 2019
Spočítali jsme úlohy 1abc na extrémy funkcí a vrátili se k úloze 1 na spojité rozšíření.
Přednáška 20. 11. 2019
Zopakovali jsme souvislost derivace a lokálního extrému funkce jedné proměnné (není obecně pravdivá ani jedna z implikací: má-li funkce v bodě lokální extrém, má v něm nulovou derivaci a má-li funkce v bodě nulovou derivaci, pak má v něm lokální extrém).
Udělali jsme příklad na extrémy funkcí více proměnných a na něm jsme vysvětlili typy stacionárních bodů a souvislost s kvadratickou částí Taylorova polynomu a s klasifikací kvadratických forem.
Udělali jsme příklad na extrém funkce vázaný na vrstevnici jiné funkce a vysvětlili, proč je gradient první funkce násobkem gradientu druhé funkce.
Cvičení 19. 11. 2019
Probrali jsme příklady 2, 3 a část 4 z úloh na derivace.
Posledních dvacet minut byla přednáška:
definovali jsme lokální extrém funkce více proměnných, definovali jsme stacionární body funkce více proměnných a řekli, jak je najít na grafu,
řekli jsme, co je Taylorův polynom druhého řádu funkce dvou proměnných a vlastnost jeho zbytku (zbytek/kvadrát normy přírůstku proměnné má nulovou limitu) za předpokladu derivací druhého řádu spojitých na okolí bodu, ve kterém funkci rozvíjíme.
Přednáška 13. 11. 2019
Vysvětlili jsme vlastnosti 4, 5 Euklidovské vzdálenosti z textu o spojitosti a limitách funkce více proměnných a řekli, jak z nich plyne počítání limit a derivací po složkách.
Z textu o derivaci jsme uvedli:
větu o spojitosti a derivaci i s důkazem;
příklad nespojité funkce mající slabou derivaci;
Taylorův polynom prvního stupně se zbytkem.
Z Taylorova polynomu prvního stupně jsme odvodili pravidlo pro derivaci složeného zobrazení (tzv. řetízkové pravidlo).
Řekli jsme, co jsou derivace druhého řádu, co jsou smíšené derivace, formulovali jsme větu o záměnnosti pořadí derivování a uvedli příklad, kdy na pořadí záleží (xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) spojitě rozšířená do počátku).
Cvičení 12. 11. 2019
Z úloh na funkce více proměnných jsme probrali 2 až 8, 10 a část 11.
Přednáška 6. 11. 2019
Formulovali jsme a dokázali větu o existenci silné derivace.
Formulovali jsme větu (zatím bez důkazu) o vztahu silné derivace, slabé derivace a derivace podle vektoru a gradientu.
Vysvětlili jsme geometrický význam gradientu.
Řekli jsme, jak se počítají limity a derivace a co je gradient funkce z R^d do R^n a jaký mají geometrický význam.
Vysvětlili jsme na příkladu zobrazení, které bodu (x,y) přiřadí bod (e,h)=(x^2+4y^2,3xy) -- obrázek.
Cvičení 5. 11. 2019
Probrali jsme příklad 4 na řady a příklady 1 až 3 na spojitost a limity.
Přednáška 30. 10. 2019
Nechali jsme wolfram alpha vykreslit grafy funkcí x/(x^2+y^2), xy/(x^2+y^2), xy^2/(x^2+y^2), xy^3/(x^2+y^2) a diskutovali, zda je možné je spojitě rozšířit.
Definovali jsme spojitost a limitu funkce dvou proměnných a vysvětlili je na výše uvedených příkladech a na příkladu funkce mající stejnou limitu po všech přímkách, ale nikoliv dvojnou limitu (x^2y/(x^4+y^2)).
Definovali jsme silnou derivaci (derivaci, totální diferenciál), zformulovali jsme větu o existenci silné derivace a uvedli vyjádření silné derivace pomocí gradientu.
Cvičení 29. 10. 2019
Probrali jsme příklady z úloh na derivace.
Přednáška 23. 10. 2019
Připomněli jsme, co je lineární zobrazení.
Zkoumali jsme pro zadanou funkci a zadaný bod zobrazení, které vektoru přiřadí derivaci podle tohoto vektoru.
Ukázali jsme, že obraz násobku vektoru je roven násobku obrazu.
Dále jsme zkoumali, zda je i obraz součtu vektorů roven součtu obrazů vektorů.
Ukázali jsme příklad, ve kterém to neplatí (funkce s funkční hodnotou rovnou třetí odmocnině z x^3+y^3 v bodě (0,0)) a vysvětlili jsme souvislost s tečnou rovinou.
Vyrobili jsme si názornou pomůcku, na které je tato souvislost vidět.
Na základě výše zjištěného jsme definovali slabou derivaci funkce f v bodě a jako lineární zobrazení, které vektoru v přiřadí derivaci podle vektoru v funkce f v bodě a.
Definovali jsme gradient funkce v bodě a uvedli, jak je pomocí něj možné vyjádřit slabou derivaci.
Odvodili jsme vzorec pro rovnici tečné roviny.
Probrali jsme příklad 2.22 ze strany 61 textu profesora Zajíčka.
Řekli jsme, co je silná derivace (někdy zkráceně nazývaná derivace a někdy nazývaná totální diferenciál). Protože k její definici potřebujeme vědět, co je limita funkce více proměnných, necháme zkoumání derivace na později.
Zopakovali jsme, co je euklidovská norma vektoru a jak lze s její pomocí definovat vzdálenost bodů v R^d. Uvedli jsme některé vlastnosti normy a vzdálenosti.
Cvičení 22. 10. 2019
Probrali jsme úlohy na parciální derivace a příklady 6b, 7 z předminulého týdne.
Přednáška 16. 10. 2019
Vrátili jsme se ještě k důkazu spojitosti součtu mocninné řady na kruhu konvergence, viz
doplněk k řadám funkcí.
Připomněli jsme si Lagrangeův tvar zbytku a pomocí něj jsme ukázali, že exponenciální funkce je rovna součtu své Taylorovy řady (z minulé přednášky známe funkci, pro kterou toto neplatí).
Z textu o parciálních derivacích jsme probrali parciální funkci, parciální derivaci, derivaci podle vektoru (tj. odstavce 1 až 7).
Shlédli jsme závěrečné video série Essence of calculus What they won't teach you in calculus.
Cvičení 15. 10. 2019
Z úloh na řady funkcí III jsme probrali příklad 1, z příkladu 4 jsme spočítali Taylorovu řadu sinu v bodě nula a ukázali, že tato řada konverguje absolutně pro všechna reálná čísla. Spočítali jsme příklad pět a vysvětlili, co je zobecněný binomický koeficient a zobecněná binomická věta.
Přednáška 9. 10. 2019
Dokázali jsme větu o poloměru konvergence v obecném případě (tedy bez použití vzorce pro limitu podílu koeficientů).
Definovali jsme kruh konvergence.
Zformulovali jsme větu o spojitosti mocninné řady na kruhu konvergence.
Z důkazu jsme naznačili, že na intervalu "odraženém" od krajních bodů kruhu konvergence řada stejnoměrně konverguje, víme, že tedy na tomto intervalu má spojitý součet (viz věta z minulého týdne).
Spojitost je lokální vlastnost (spojitost na intervalu je totéž jako spojitost v každém bodě), proto je součet mocninné řady spojitý na kruhu konvergence.
Napsali jsme definici derivace řady člen po členu. Ukázali jsme, že derivace součtu řady a součet derivací se (podobně jako limita součtu a součet limit) liší pořadím limit a tedy není zaručena jejich rovnost.
Zformulovali jsme (téměř bez důkazu) dvě věty:
Větu o poloměru konvergence mocninné řady zderivované člen po členu. Zde jsme procvičili implikaci a ukázali, že poloměr konvergence zderivované řady nemůže být větší než poloměr konvergence řady.
Dále jsme bez důkazu zformulovali větu o derivaci mocninné řady člen po členu (tedy výše zmiňované prohození pořadí limit je pro mocninnou řadu možné).
Definovali jsme Taylorovu řadu.
Jako důsledek výše uvedené věty o derivaci součtu mocninné řady jsme dokázali tvrzení, že postup: mocninná řada -> její součet -> Taylorova řada součtu skončí tam, kde začal (na začátku i na konci je stejná řada).
Uvedli jsme příklad funkce, která má Taylorovu řadu se součtem odlišným od původní funkce. Tedy postup: funkce -> Taylorova řada funkce -> součet řady může skončit u jiné funkce než začal.
Ta funkce je spojité rozšíření funkce, která x přiřadí exp(-1/x^2)) a střed Taylorovy řady je nula.
Ukázali jsme, že funkce má v nule nulovou funkční hodnotu i první derivaci.
Konstatovali jsme, že má nulové všechny derivace (viz hvězdičkový příklad na příští cvičení) a odtud plyne, že její Taylorova řada je nulová.
Samotná funkce je mimo nulu kladná.
Zdroje:
[ŘF] 4, 9 až 13.
Cvičení 8. 10. 2019
probrali jsme příklady 1 až 3, 5 a 6a z úloh na řady funkcí II.
Přednáška 2. 10. 2019
Definovali jsme (nekonečnou) řadu funkcí a její součet.
Formulovali jsme dva problémy, které nás budou zajímat: Je součet řady spojitých funkcí spojitá funkce? Lze součet nekonečně mnoha členů derivovat člen po členu?
Ukázali jsme příklad řady spojitých funkcí s nespojitou limitou a vysvětlili jsme, jak nespojitost limity souvisí s prohozením pořadí limit ve dvojnásobné limitě.
Vysvětlili jsme rozdíl mezi bodovou a stejnoměrnou konvergencí, nakreslili obrázek.
Vysvětlili jsme souvislost stejnoměrné konvergence a spojitosti limitní funkce, formulovali jsme větu, uvedli hlavní myšlenku důkazu
(vztah (10) z ŘF).
Definovali jsme mocninnou řadu, formulovali větu o poloměru konvergence mocninné řady, nedokazovali jsme ji, ale odvodili jsme vzorec (7) pro poloměr konvergence.
Poznámka: terminologie poloměr a kruh má názorný geometrický význam pro mocninné řady v komplexním oboru. Tuto terminologii převezmene, ale pracovat budeme v oboru reálném.
Zdroje:
[ŘF] 1 až 3, 8, 10.
Cvičení 1. 10. 2019
Věnovali jsme se příkladům 1 až 7 z úloh na řady funkcí.
Příklad 4 jsme nedopočítali a v tom, co bylo na tabuli byla chyba. Dokončíme příště.