21. 12. 2022
Z příkladů ke zkoušce doporučuji spočítat především poslední dva.

Dokončíme metrické prostory, především napíšeme definice a nakreslíme obrázky k pojmům vnitřní, vnější, hraniční, hromadný, izolovaný bod, otevřená, uzavřená množina. Dále vyložíme význam úplných metrických prostorů.

14. 12. 2022
Další úlohy na řady.

Vyložili jsme vztah mocninné řady k Taylorově řadě jejího součtu (důsledek věty o derivaci mocninné řady člen po členu) a vztah součtu Taylorovy řady k původní funkci (na příkladě exp(-1/x^2)).
Řekli jsme definici stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí a větu o spojitosti limity, uvedli jsme hlavní myšlenku důkazu. Desmos ke stejnoměrné konvergenci funkcí.

Z metrických prostorů jsme probrali definici, uvedli jako příklad metriku odvozenou od normy (a ukázali platnost axiomů).

7. 12. 2022
Úlohy na řady.
Řekli jsme, co je mocninná řada, podrobně jsme probrali její obor konvergence, odvodili vzorec pro poloměr konvergence, spočítali několik příkladů. Konstatovali jsme, že mocninnou řadu lze derivovat člen po členu (pravidlo pro derivaci součtu zde platí i pro nekonečný počet členů). Obecně znamená derivování řady člen po členu záměnu limit, ukázali jsme příklad, kdy záměnou pořadí limit dostaneme jiný výsledek.
Ukázali jsme posloupnost spojitých funkcí, které mají bodovou limitu, která není spojitá.
Napsali jsme vzorec pro Taylorovu řadu.

30. 11. 2022
Úlohy na dvojné integrály II.
Spočítali jsme integrál z exp(-x^2) přes R oklikou přes polární souřadnice.

Výuka byla zrušena, proto jsme neprobrali, co je obsah rovinného obrazce a důsledky konečné a spočetné aditivity s odkazem na příklady výpočtu pravděpodobnosti/střední hodnoty nekonečnou řadou a na příklady, kde je pravděpodobnost jevu počítána jako obsah obrazce.

23. 11. 2022
Úlohy na dvojné integrály.

Spočítali jsme příklad, ve kterém vyjde dvojnásobný integrál odlišně v jednom a druhém pořadí a vysvětlili, jak tento výsledek souvisí s přerovnáním neabsolutně konvergentní řady.
Uvedli jsme vzorce pro výpočet objemu tělesa a těžiště rovinného obrazce. Spočítali jsme těžiště půlkruhu.
Vyložili jsme substituci ve dvojném integrálu, ve speciálním případě z kartézských do polárních souřadnic (spočítali jsme objem Viviani temple, těžiště půlkruhu) a napsali vzorec v obecném případě.

16. 11. 2022
Úlohy na extrémy.
Desmos k jedné z úloh

Dokončíli jsme výklad extrémů, ukázali příklad funkce, která má rozdílné smíšené derivace: (x^3y-xy^3)/(x^2+y^2) spojitě rozšířená do počátku.
Text k Taylorovu polynomu

Řekli jsme, co je dvojný a dvojnásobný integrál, zformulovali Fubiniovu větu přes obdélník, spočítali příklady.

9. 11. 2022
Úlohy na vázané extrémy.

Úloha 2.22 elementárně.

Probrali jsme větu o Lagrangeových multiplikátorech.
Řekli jsme, co je omezená a uzavřená množina v R^2 a zformulovali obdobu Weierstrassovy věty pro 2D.
Zopakovali jsme souvislost lokálních extrémů s derivací v 1D a zformulovali obdobnou nutnou podmínku pro lokální extrém ve 2D. Definovali jsme stacionární bod.
Připomněli jsme Taylorův polynom prvního a druhého stupně v 1D a napsali Taylorovy polynomy stupňů 1, 2 ve 2D. Definovali jsme derivace druhého řádu a řekli, co je Hessova matice.

2. 11. 2022
Úlohy na trojúhelník z přednášky a polární souřadnice. Chci se ještě vrátit k roli báze ve vektorovém prostoru, demonstrovat ji na příkladu s trojúhelníkem a spolu s dalšími souvislostmi ji rozebrat na schématu vztahů mezi derivacemi, gradientem, spojitostí.

Ukážeme geometrický význam řádků a sloupců Jakobiovy matice. Bylo v plánu a neudělali jsme: řetízkové pravidlo.
Navážeme vázanými extrémy: vysvětlíme, co jsou lokální a vázané extrémy, ukážeme metody výpočtu (nutnou podmínku pro existenci).

26. 10. 2022
Prošli jsme dotazníky z an2, dne 25. 5. a dokončili úlohy z minulého týdne.

Probrali jsme příklad 2.22 z textu profesora Zajíčka pomocí derivací i elementárně.
Probrali jsme význam báze ve vektorových prostorech, k významu aditivity se ještě vrátíme.

Probrali jsme funkce z R do RxR (parametrické rovnice křivek, připomněli jsme rovnice kružnice), řekli jsme, že derivaci počítáme po složkách a ukázali, že je rovna tečnému vektoru. Zavedli jsme polární souřadnice jako zobrazení z RxR do RxR, spočítali jsme Jakobiovu matici a Jakobián.

19. 10. 2022
Vkládejte na sdílený disk:
parciální derivace, vrstevnice, v úloze 2d není cílem vás cvičit v úpravách a kreslení grafu kvadratické funkce, doporučuji použít desmos nebo jiný software
spojitost, limity

Z textu o derivacích jsme probrali definici derivace ze začátku bodu 3, zopakovali, co tato definice znamená v 1D případě, zformulovali jsme a dokázali větu o existenci (použili jsme zde Lagrangeovu větu o střední hodnotě) a větu o spojitosti a derivaci.
Nestihli jsme ukázat příklady funkcí mající "jiné" derivace, které jsou nespojité.
Záměrně se snažím látku zjednodušit, vynechat některé detaily a chtěla bych se s vámi zamyslet, jak látku vykládat názorněji. Vodítkem budou dotazníky k derivaci, které jsme dělali na závěr an2 (dne 25. 5.) s vašimi staršími spolužáky.

12. 10. 2022
Probrali jsme limitu a spojitost funkce dvou proměnných: řekli jsme definice a jak se existence limity projeví na řezech grafu funkce a ukázali jsme použití těchto řezů na počítání limit.
Vyložili jsme použití gradientu na odvození rovnice vedení tepla, viz text na wikipedii.

5. 10. 2022
Budeme se věnovat funkcím dvou proměnných. Začneme opakováním: vyložíme, jak spolu souvisí rovnice přímky a přímá úměra a připomeneme, co je přírůstek proměnné, přírůstek funkce a jak souvisí s derivací (viz úvodní kapitola a dodatek z [MŠ4+1]).
Probereme grafické znázornění funkce dvou proměnných, řekneme, co je graf a co jsou vrstevnice.
Vysvětlíme přírůstky funkce dvou proměnných a na příkladě tyto přírůstky spočítáme. Vyrobíme model ukazující, jak souvisí aditivita těchto přírůstků s existencí tečné roviny, napíšeme vzorec pro rovnici tečné roviny. Ukážeme příklad funkce, kde aditivita přírůstků nefunguje a funkce nemá tečnou rovinu.
Probereme derivaci funkce podle vektoru, derivaci ve směru a gradient, vyložíme souvislosti.

Na příští cvičení si studenti připraví úlohy z textu o parciálních derivacích: ověří výpočty v bodech 2, 6, 8, 11, vyřeší úkol z bodu 4 a úkoly v bodě 14.