Zdeněk Mihula (Katedra matematiky FEL ČVUT, Praha)
V pondělí 29. března 2021, 14:20 hodin
Seminární místnost G4-MAT, 4. patro budovy G, kampus Husova (Univerzitní nám. 1410/1)
On-line na Google Meet
Google Meet: https://meet.google.com/gva-ipaj-jhe
FB událost: https://www.facebook.com/events/444526816661192
Záznam: https://www.youtube.com/watch?v=7B2vG5cD66E
[Pozvánka v PDF]
Abstract
Ukážeme si (jeden z mnoha příkladů), jak lze složitý, několikarozměrný problém zredukovat na ekvivalentní jednorozměrný problém. Uvážíme Sobolevovu nerovnost (resp. jednu její možnou formu), která říká, že pro každé p z intervalu [1,n), kde n je přirozené číslo větší než dva, existuje kladná konstanta C (závisející na p a n) taková, že pro každou slabě diferencovatelnou funkci u z ℝn do ℝ s kompaktním nosičem platí nerovnost (1), viz obrázek.
Naznačíme si, jak lze platnost nerovnosti (1), která se týká funkcí více proměnných, zredukovat na ekvivalentní problém existence kladné konstanty C s vlnkou takové, že pro každou nezápornou (měřitelnou) funkci f na intervalu (0,∞) platí nerovnost (2), viz obrázek.
Ačkoliv jsou Lebesguovy Lp prostory velmi důležité, již desítky let se ukazuje, že škála Lebesgueových prostorů často nestačí, chceme-li zachytit jemnější integrační vlastnosti funkcí, a je proto nutné uvažovat i obecnější třídy prostorů funkcí. Zmíníme se o tzv. třídě prostorů funkcí invariantních vůči nerostoucímu přerovnání, která zaštiťuje celou řadu různých prostorů funkcí, které se objevují zejména při analýze složitých, limitních situací. Způsob, jakým zredukujeme platnost (1) na platnost (2), funguje i pro tuto obecnou třídu prostorů funkcí. Nejenom že získáme užitečné kritérium pro ověřování platnosti nerovností Sobolevova typu, ale díky této redukci budeme dokonce schopni nalézt v jistém smyslu optimální výsledky, které už nelze v daném smyslu zlepšit.