Online hodiny budou probíhat ve stejné virtuální místnosti jako hodiny se studenty učitelství: https://meet.google.com/ydu-dceh-tie

Cvičení 27. 5. 2021
Probrali jsme úlohy z Děmidoviče:
2671 (napověda), 2701, 2703, 2709, 2556 -- 2564, 2567 -- 2570.
sken

Přednáška 26. 5. 2021
Předvedli jsme jednodušší důkaz o riemannovské integrovatelnosti monotonní funkce. Pracovali jsme na úloze 2553, důkaz je na motivy semináře "O výhodách iracionality při hledání sedmého nebe". Sken z přednášky, sken po přednášce.

Přednáška 20. 5. 2021
Dokončili jsme důkaz Weierstrassovy věty o stejnoměrné aproximaci spojité funkce polynomem (poslední tři listy skenu z minulé přednášky).
Dokázali jsme platnost vzorců pro délku křivky a objem rotačně symetrického tělesa odvozených na páteční přednášce.
Ukázali jsme, že Riemannova funkce je Riemannovsky integrovatelná -- [JV2], str. 304, 305.
Ukázali jsme, že funkce neklesající na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu Riemannovsky integrovatelná (věta 11.2.23 v odkazu nahoře, důkaz odlišný od našeho).
Sken.

Cvičení 19. 5. 2021
Úlohy 146, 2673 (tam máte zjistit konvergenci a absolutní konvergenci), 2678, 2679, 2706 z Děmidoviče.
Úloha s Van der Waalsovou stavovou rovnicí -- desmos.

Cvičení 13. 5. 2021
Spočítali jsme limitu, kterou potřebujeme k důkazu Weierstrassovy věty o stejnoměrné aproximaci spojité funkce polynomem (sken).
Úlohy 145, 146 a integrály 1985, 1987, 2007, 2009 z Děmidoviče.
Sken.

Přednáška 12. 5. 2021
Pokračovali jsme ve výkladu vlastností integrálů.
Pokračovali jsme v důkazu Weierstrassovy věty o stejnoměrné aproximaci funkce psojité na uzavřeném intervalu polynomem.
Sken.

Cvičení 6. 5. 2021
Věnovali jsme se integrálům 1986, 1988, 1989, 2003, 2004 a úlohám 147, 148 z Děmidovičovy sbírky.

Přednáška 5. 5. 2021
Zopakovali jsme hlavní myšlenky aproximace polynomem a udělali plán na dokončení příště -- sken.
Další plán na příště jsou aplikace integrálů -- sken.
Probírali jsme vlastnosti integrálů -- sken.

Cvičení 29. 4. 2021
Zvládli jsme jen několik integrálů, zbytek zůstává na příště -- sken.

Přednáška 28. 4. 2021
Probírali jsme aproximaci spojité funkce polynomem dle textu [JV2], str. 412, 413 -- Probírali jsme aproximaci spojité funkce polynomem dle textu [JV2], str. 412, 413 -- sken.

Cvičení 22. 4. 2021
Probrali jsme úlohy z Děmidovičovy sbírky: 213, 213.1, 294, 298, 300.1, 324.1 k), l) a úkoly z minula.
Dali jsme nápovědu k úlohám 145, 146, 147, 148 z Děmidoviče.

Přednáška 21. 4. 2021
Dokázali jsme, že funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu Riemannovsky integrovatelná -- skeny

Cvičení 15. 4. 2021
Probrali jsme úlohy 210, 212, 248, 265, 324.1 fghij z Děmidovičovy sbírky.

Přednáška 14. 4. 2021
Dokončili jsme výklad o stejnoměrné spojitosti.
Spočítali jsme dolní a horní Riemannův integrál pro druhou mocninu na intervalu nula jedna a uvedli návod, jak postupovat v případě vyšších exponentů.
skeny

Cvičení 8. 4. 2021
Probrali jsme Taylorův polynom čtvrtého stupně funkce exp(tg(x)) v bodě -pi/4 a limity derivací této funkce v bodě pi/2.
Probrali jsme úlohy: 48, 57, 188, 196, 203, 231 z Děmidovičovy sbírky, k úlohám 210, 212 jsme dali nápovědu.
sken

Přednáška 7. 4. 2021
U úlohy 81 jsme ještě spočítali hodnotu limity posloupnosti.
Ukázali jsme, že derivace funkce splňuje Darbouxovu vlastnost. Důsledkem je, že funkce mající nespojitost typu skoku nemá primitivní funkci.
Věnovali jsme se stejnoměrné spojitosti -- [JV2], začátek kapitoly 11, strany 295--6.
sken

Přednáška 31. 3. 2021
Ukázali jsme, že funkce sin(1/x) nemá v nule limitu. Použijeme Heineho větu ze začátku semestru.
Ukázali jsme, že rozšíření funkce sin(1/x) má na R Darbouxovu vlastnost právě, když funkci rozšíříme v nule hodnotou z [-1,1].

Cvičení 1. 4. 2021
Probrali jsme úlohy 81, 171, 475, 526, 562 z Děmidovičovy sbírky.
Probrali jsme Bernoulliovu nerovnost (pro jaká x platí?).
Věnovali jsme se derivacím funkce exp(tg(x)).


Cvičení 25. 3. 2021
Michal prezentoval důkaz ag nerovnosti.
Bernoulliovu nerovnost (pro jaká x platí?) ještě necháváme na příště.
Probírali jsme úlohu (*8) pro exponenciální funkce.
Probrali jsme úkoly ze včerejší přednášky .
Probrali jsme větu o limitě derivace s důkazem a příklady.
skeny

Přednáška 24. 3. 2021
K důkazu věty 6.6.3:
V poznámce 6 je odvození derivace, které se vyhýbá důkazu kruhem, kterého jsme se dopustili na páteční přednášce.
V poznámce 7 se dle mého používá Lagrangeův tvar zbytku Taylorova polynomu na intervalu, kde je kosinus nezáporný. Jiné odvození nerovností nevidím.
Poznámka 6.6.5: důkaz jednoznačnosti jsme provedli pomocí Taylorova polynomu s Lagrangeovým tvarem zbytku.
skeny

Přednáška 17. 3. 2021 a cvičení 18. 3. 2021
Dokončili jsme důkaz lemmatu 6.3.7 o existenci exponenciální funkce.
Michal prezentoval důkaz Bernoulliovy nerovnosti.
Jana prezentovala důkaz ag nerovnosti, Michal bude prezentovat příští týden.
Dokončili jsme důkaz jednoznačnosti rozkladu na parciální zlomky.
Věnovali jsme se úloze (*8) na derivace funkce exp(-1/x^2).
Věnovali jsme se větě 6.6.3 o existenci goniometrických funkcí a jejímu důkazu, z poznámek 6.6.4 v [JV] jsme prošli 1 až 6, zarazili jsme se na 7.
Diskuzi nad tím, pro jaké proměnné platí Bernoulliova nerovnost jsme nechali na příště (všichni mají za úkol).
skeny

Cvičení 11. 3. 2021
Vraceli jsme se k důkazu věty o rozkladu racionální funkce pro konkrétní funkci (třeba tu, na které jsme před týdnem ilustrovali zavedené značení), ale necháváme ji ještě na příště.
I ag nerovnost a její důkaz necháváme na příště (Jana si připraví povídání o důkazu, Michal otázky).
Dále jsme se věnovali úkolům ze včerejška.
skeny

Přednáška 10. 3. 2021
Probrali jsme kapitolu 6.2 o aditivní funkci z [JV] -- skeny.

Cvičení 4. 3. 2021
Dokončili jsme úkoly z minula: vztah pro kombinační čísla ukazující výpočet dalšího řádku v pascalově trojúhelníku, odvození vzorců pro permutace, variace, kombinace, limita n-té odmocniny z n.
Téměř jsme dokončili důkaz věty o rozkladu na parciální zlomky -- skeny

Přednáška 3. 3. 2021
Probírali jsme důkaz věty o jednoznačnosti rozkladu racionální funkce na parciální zlomky -- skeny

Cvičení 25. 2. 2021
Procvičili jsme binomickou větu a její důkaz: Proč dává Pascalův trojúhelník (bez kombinačních čísel, jen postupný výpočet řádků) správný výsledek? Proč se v Pascalově trojúhelníku objeví kombinační čísla? (Doděláme příště, Michal má za úkol odvodit vztah pro kombinační čísla.) Diskutovali jsme kombinatorické důkazy binomické věty, doděláme příště (Jana a Věnceslav mají za úkol zopakovat si permutace a kombinace a odvození vzorců).

Udělali jsme důkaz binomické věty matematickou indukcí -- sken.

Dokázali jsme, že limita podílu mocniny a exponenciály se základem větším než jedna je rovna nule.

Na příště zbývá důkaz, že limita n-té odmocniny z n je rovna jedné -- sken s návodem.

Diskutovali jsme rozklad x^(16)-x na součin polynomů -- sken.

Zmínili jsme se o příkladu na konvexní funkce ze sdíleného adresáře, podrobnosti někdy příště.

Přednáška 24. 2. 2021
Heineho věta (4.2.11 v [JV]) -- Povídali jsme si o Pascalově trojúhelníku, binomické větě, kombinatorice a použití binomické věty na výpočet limit. Podrobnosti provedeme zítra na cvičení.
Návody: sken k binomické větě, sken k limitám.