Všechna tvrzení v písemné části stačí znát bez důkazů.
Zdůvodnění svých postupů do písemky pište přiměřeně. Pokud na něco důležitého zapomenete, tak se vás pak při procházení písemky zeptám.
Základní vodítko je: proč pokračuji právě takto? Přitom středoškolské znalosti se nekomentují.
K uspění u písemné části nejsou komentáře/zdůvodnění nezbytné, ale pak vás budu zkoušet ze mnou vybraného tématu.
Pokud u písemky uspějete a navíc shledám úroveň komentářů/zdůvodnění dostatečnou, budu vás u ústní části zkoušet z vámi vybraného tématu.
Dostatečná úroveň mimo jiné znamená, že komentáře/zdůvodnění budete mít u všech vámi řešených úloh.
Hranice pro úspěch u písemné části jsou 4 vyřešené úlohy (hvězdičková varianta je jako 1,5 úlohy).
Hranici jste si mohli prací během semestru o půl úlohy snížit.
O půl úlohy si hranici můžete snížit vyřešením úlohy 4 z
úloh na Taylorovy řady.
Variantou je napsání eseje na téma algoritmy sociálních sítí a/nebo generativní modely umělé inteligence.
Chci, abyste sdíleli své vlastní zkušenosti a zamysleli se nad dopady, které na vás používání sociálních sítí a generativních modelů má.
V čem vám pomáhá a v čem vám škodí.
Co a jak ze svých zkušeností budete předávat svým žákům.
Disk prací studentů v kombinované formě, máte ho nasdílený (pokud ne, napište email).
Definice bodové a stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí.
Nutná podmínka stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí (existence bodové limity).
Nutná a postačující podmínka stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí (podmínka suprema).
Příklad stejnoměrně konvergentní posloupnosti funkcí.
Příklad bodově konvergentní posloupnosti funkcí, která nekonverguje stejnoměrně.
Věta o spojitosti limitní funkce i s důkazem.
Těžší důkazy:
věta o spojitosti limity stejnoměrně konvergentní posloupnosti
podmínka suprema pro stejnoměrnou konvergenci
Zdroje:
Úlohy na zopakování grafů funkcí, konvergenci posloupností,
řešení jedné z úloh
Z úloh ke zkoušce úlohy 1, 2
K řešení úloh je potřeba znát nutnou podmínku stejnoměrné konvergence, nutnou a postačující podmínku stejnoměrné konvergence.
Může se i hodit věta o spojitosti stejnoměrné limity spojitých funkcí.
Při rozhovoru nad písemkou se můžu zeptat na definici bodové a stejnoměrné konvergence.
Definice a věty
Základní pojmy: mocninná řada, střed konvergence, člen řady, koeficient.
Obor konvergence a absolutní konvergence mocninné řady.
Věta o poloměru konvergence mocninné řady i s důkazem.
Vzorec pro výpočet poloměru konvergence i s odvozením.
Věta o stejnoměrné konvergenci mocninné řady (bez důkazu).
Věta o derivaci mocninné řady člen po členu (bez důkazu).
Použití věty na výpočet součtu řad.
Taylorovy řady.
Konkrétně Taylorovy řady funkcí sinus, kosinus, exponenciální funkce.
Těžší důkazy:
Věta o poloměru konvergence (netýká se odvození vzorce pro poloměr konvergence).
Zdroje:
Úlohy na zopakování geometrické řady, jejího součtu a kritérií konvergence číselných řad
Úlohy na Taylorovy řady
Z úloh ke zkoušce úlohy 3 až 5.
K řešení úloh 3, 4 je potřeba znát metody výpočtu poloměru konvergence (buď použijete přímo vzorec pro výpočet poloměru konvergence, nebo použijete limitní podílové kritérium na členy mocninné řady).
Na zjištění konvergence/absolutní konvergence v krajních bodech je třeba znát Leibnizovo kritérium a vědět, pro které exponenty a konverguje řada s členy k^a.
K řešení úlohy 5 je třeba znát větu o derivaci mocninné řady člen po členu.
Při rozhovoru nad písemkou se můžu zeptat na definici středu a poloměru konvergence mocninné řady.
Definice a věty, obsahuje návod na úlohu 5 v písemce.
Text byl vytvořen ve spolupráci s LLM Gemini během asi dvou hodin, ve kterých jsem zadávala požadavky, co má text obsahovat a připomínky k použitým nástrojům.
Definice metrického prostoru. Příklady: metrika odvozená od normy, diskrétní metrický prostor.
Definice vnitřních a hraničních bodů množiny, definice otevřené, uzavřené množiny.
Vztah otevřených a uzavřených množin (doplněk otevřené množiny je uzavřená množina, doplněk uzavřené množiny je otevřená množina) i s důkazem.
Posloupnosti v metrických prostorech, konvergentní posloupnosti, hromadný a izolovaný bod množiny, charakterizace hromadných bodů (pomocí izolovaných a hraničních bodů) i s důkazem,
Charakterizace uzavřených množin pomocí hromadných bodů i s důkazem.
Sekvenční charakteristika uzavřených množin i s důkazem.
Úplné metrické prostory, příklady (R s euklidovskou metrikou je úplný prostor, Q není).
Těžší důkazy:
Charakterizace uzavřených množin pomocí hromadných bodů.
Sekvenční charakteristika uzavřených množin i s důkazem.
Zdroje:
Úlohy na metrické prostory, k tomuto tématu jsou úlohy 1 až 5.
Z úloh ke zkoušce úlohy 6 až 8.
K řešení úlohy 6 je třeba znát definici otevřené a uzavřené množiny, hraničního bodu množiny, může se hodit věta o vztahu otevřených a uzavřených množin.
Dále se může hodit věta o sekvenční charakterizaci uzavřené množiny z druhé verze učebního textu (odkaz níže) spolu s větou o limitě posloupnosti a nerovnostech z
textu pro an1 (text vytvořen LLM Gemini metodou instrukcí a připomínek).
K řešení úlohy 7 je třeba znát definici otevřené a uzavřené množiny, hraničního bodu množiny, může se hodit věta o vztahu otevřených a uzavřených množin.
K řešení úlohy 8 je třeba znát definici vnitřního, hraničního, izolovaného a hraničního bodu množiny.
Řešení úlohy 7d od LLM Gemini včetně zadaného promptu.
Doporučuji ilustrovat text obrázkem, zde máte jeho
popis od LLM Gemini.
Z druhé verze učebního textu kapitoly 1 až 3, 6.
(Oproti první verzi jsou přepracované důkazy tvrzení o uzavřených množinách).
Kompaktní množiny, věta o uzavřenosti a věta o omezenosti kompaktní množiny i s důkazy.
Opačná věta pro R^n bez důkazu (Heine-Borel) bez důkazu.
Zobrazení mezi metrickými prostory, spojitost zobrazení.
Weierstrassova věta o nabývání extrémů funkce spojité na kompaktní množině bez důkazu.
Definice lokálního extrému funkce dvou proměnných, nutná podmínka existence lokálního extrému, parciální funkce, parciální derivace.
Těžší důkazy:
Věta o uzavřenosti kompaktní množiny.
Zdroje:
Úlohy na metrické prostory, k tomuto tématu jsou úlohy 6 až 8.
Z úloh ke zkoušce úloha 9.
K řešení úlohy je třeba znát Weierstrassovu větu,
charakterizaci kompaktních množin v R^2, některou z charakterizací uzavřených množin (nejjednodušší je řešení neostré nerovnosti se spojitou funkcí definovanou na R^2, další možnost je konstatovat, které body jsou pro zadanou množinu jejími hraničními body a naznačit zdůvodnění).
Dále je třeba znát nutnou podmínku existence lokálního extrému funkce (jedné i dvou proměnných).
Při rozhovoru nad písemkou se vás můžu zeptat na definici spojité funkce a jak zdůvodníte, že je zadaná funkce spojitá, na definici omezené množiny, definici uzavřené množiny, definici hraničního bodu množiny.
Z druhé verze učebního textu kapitoly 4, 5.
Text o extrémech funkcí dvou proměnných, shrnutí důležitých faktů z metrických prostorů, definice lokálního a globálního extrému, spočítaný příklad (text vytvořený ve spolupráci s LLM Gemini, tentokrát to byla docela dřna, některé pasáže jsem raději dopsala sama).
Limita funkce dvou proměnných, definice, nutná podmínka existence limity (test limitami po cestách).
Derivace funkce z R^2 do R (parametrické rovnice křivek), derivace, tečný vektor, Taylorův polynom prvního stupně, zbytek Taylorova polynomu a rychlost jeho zmenšování při přibližování k tečnému bodu (limita podílu zbytek/rozdíl parametrů).
Derivace, diferencovatelnost, nutná podmínka diferencovatelnosti (existence parciálních derivací), postačující podmínka diferencovatelnosti (spojitost parciálních derivací) i s důkazy.
Taylorův polynom prvního stupně, jeho zbytek, rychlost jeho zmenšování (limita podílu zbytek/vzdálenost od tečnoho bodu).
Rovnice tečné roviny, souvislost s aditivitou zobrazení, které vektoru v přiřadí derivace podle vektoru v, papírový model demonstrující aditivitu.
Graf funkce dvou proměnných, geometrický význam parciálních derivací (směrnice tečny na řez grafem, představa řezu dortu s polevou).
Řetízkové pravidlo pro derivaci složené funkce (probrali jsme pro funkci z R do R^2 a poté z R^2 do R).
Derivace ve směru, výpočet pomocí gradientu pro diferencovatelnou funkci.
Vrstevnice funkce dvou proměnných, gradient, kolmost gradientu na vrstevnici, odvození z vlastností skalárního součinu.
Věta o implicitně zadané funkci (bez důkazu), metoda Lagrangeových multiplikátorů pro hledání lokálního extrému na křivce v R^2.
Na poslední přednášce řekneme větu o Lagrangeových multiplikátorech a spočítáme příklad, výklad k implicitně zadané funkci bude na videu.
Těžší důkazy:
Postačující podmínka diferencovatelnosti funkce více proměnných (důkaz bude ve videu jako náhrada za odpadlou hodinu).
Zdroje:
Úlohy na funkce dvou proměnných
Z úloh ke zkoušce úlohy 10 až 13.
K řešení úlohy 10 je třeba znát nutnou podmínku existence dvojné limity (test po přímkách).
Při rozhovoru nad písemkou se můžu zeptat na definici dvojné limity.
K řešení úlohy 11 je třeba znát definici vrstevnice a vzájemnou polohu vrstevnice a gradientu.
K řešení úlohy 12 je třeba znát nutnou podmínku existence extrému a postačující podmínku (věta 2.2 z textu pro an1).
K řešení úlohy 13 je třeba znát rovnici tečné roviny a nutnou podmínku diferencovatelnosti.
Při rozhovoru nad písemkou se můžu zeptat na definici diferencovatelnosti funkce.
Text o limitách funkcí dvou proměnných, obsahuje definici nutnou podmínku existence limity a vyřešené příklady.
Text o derivacích.
Moje starší texty o derivacích:
Parcialni_derivace.pdf,
Derivace.pdf.
Náčrt pomůcky na znázornění derivace funkce dvou proměnných.
Na papír narýsujte obrázek,
přitom délky a, b, delta a, delta b zvolte.
Odstřihněte část nad horní lomenou čárou i dole a po stranách. Podél svislých čar přehněte a proužek na levém okraji použijte na slepení s protější stranou. Vznikne šikmo seříznutý hranol s obdélníkovou (nebo rovnoběžníkovou) podstavou.
Text o vázaných extrémech.
Pokud vám téma u zkoušky vyberu já:
Dvojný integrál přes obdélník, definice, věta o existenci dvojného integrálu pro spojité funkce bez důkazu, Fubiniova věta bez důkazu, dvojnásobný integrál.
Pokud si téma vyberete vy, tak včetně vlastností a důkazů v textu o dvojném integrálu (tedy i části, které jsem nepřednášela).
A v obou případech (ať téma vyberu já nebo vy):
Polární souřadnice, výpočet elementárního objemu, věta o substituci dvojného integrálu do polárních souřadnic.
Výpočet integrálu z funkce exp(-x^2) přes celou reálnou osu pomocí dvojného integrálu v polárních souřadnicích.
Těžší důkazy:
Fubiniova věta.
Zdroje:
Úlohy na dvojné integrály.
Z úloh ke zkoušce
úloha 14.
K řešení úlohy je třeba znát Fubiniovu větu, případně větu o substituci dvojného integrálu do polárních souřadnic.
Pokud bude součást úlohy nalezení maximální a minimální hodnoty, půjde to udělat s použitím středoškolských znalostí i s použitím teorie na hledání extrémů. Zvolit si můžete metodu dle svého, v každém případě přidejte zdůvodnění.
Při rozhovoru nad písemkou se vás můžu zeptat na definici dvojného integrálu.
Objem jako motivace ke dvojnému integrálu.
Text o dvojném integrálu.
Text o dvojném integrálu v polárních souřadnicích.
Poznámka: Za obsah textů zodpovídá MŠ. Některé byly formulovány s pomocí velkého jazykového modelu (LLM) Gemini od společnosti Google.