Definice bodové a stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí.
Nutná podmínka stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí (existence bodové limity).
Nutná a postačující podmínka stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí (podmínka suprema).
Příklad stejnoměrně konvergentní posloupnosti funkcí.
Příklad bodově konvergentní posloupnosti funkcí, která nekonverguje stejnoměrně.
Věta o spojitosti limitní funkce i s důkazem.
Vysvětlete jak souvisí spojitost limitní funkce se záměnou limit, uveďte příklad.
Uveďte příklad posloupnosti funkcí f_n a bodu x_0 takových, že existují, ale nerovnají se:
derivace limitní funkce v bodě x_0,
bodová limita posloupnosti derivací f'_n v bodě x_0
(tedy ukažte, že obecně není korektní zaměnit pořadí limity a derivace).
Úlohy na zopakování grafů funkcí, konvergenci posloupností,
řešení jedné z úloh
Z úloh ke zkoušce úlohy 1, 2
definice a věty
Základní pojmy: mocninná řada, střed konvergence, člen řady, koeficient.
Obor konvergence a absolutní konvergence mocninné řady.
Věta o poloměru konvergence mocninné řady i s důkazem.
Vzorec pro výpočet poloměru konvergence i s odvozením.
Malý výlet do komplexních čísel, aneb, proč používáme pojmy poloměr konvergence a střed konvergence.
Věta o stejnoměrné konvergenci mocninné řady i s důkazem.
Věta o derivaci mocninné řady člen po členu (bez důkazu).
Použití věty na výpočet součtu řad.
Taylorovy řady.
Konkrétně Taylorovy řady funkcí sinus, kosinus, exponenciální funkce a zobecněná binomická věta, obory jejich konvergence.
Věta o součtu Tayorových řad sinu, kosinu a exponenciely (rovnají se původní funkci), hlavní myšlenka důkazu (použijeme Lagrangeův tvar zbytku Taylorova polynomu).
Příklad funkce f(x)=exp(-1/x^2), jejíž Taylorova řada konverguje, ale ne k funkci f.
Úlohy na zopakování geometrické řady, jejího součtu a kritérií konvergence číselných řad
Úlohy na Taylorovy řady
Z úloh ke zkoušce úlohy 3 až 5
definice a věty, obsahuje návod na úlohu 5 v písemce.
Text byl vytvořen ve spolupráci s LLM Gemini během asi dvou hodin, ve kterých jsem zadávala požadavky, co má text obsahovat a připomínky k použitým nástrojům.
Definice metrického prostoru. Příklady: metrika odvozená od normy, diskrétní metrický prostor.
Definice vnitřních a hraničních bodů množiny, trichotomie vnitřních bodů množiny, hraničních bodů množiny, vnitřních bodů doplňku množiny,
definice otevřené, uzavřené množiny,
vztah otevřených a uzavřených množin (doplněk otevřené množiny je uzavřená množina, doplněk uzavřené množiny je otevřená množina).
Posloupnosti v metrických prostorech, konvergentní posloupnosti, hromadný a izolovaný bod množiny, charakterizace hromadných bodů (pomocí izolovaných a hraničních bodů), charakterizace uzavřených množin pomocí hromadných bodů.
Kompaktní množiny, věta o uzavřenosti a věta o omezenosti kompaktní množiny. Opačná věta pro R^n bez důkazu (Heine-Borel).
Zobrazení mezi metrickými prostory, spojitost zobrazení.
Weierstrassova věta o nabývání extrémů funkce spojité na kompaktní množině bez důkazu.
Úplné metrické prostory, příklady (R s euklidovskou metrikou je úplný prostor, Q není).
Úlohy na metrické prostory,
na cvičení 25. listopadu 2025
úlohy 7 až 8.
Z úloh ke zkoušce
úlohy 6 až 8
na cvičení 25. listopadu 2025.
K řešení úloh můžete použít věty z přednášky.
Dále můžete použít větu o limitě posloupnosti a nerovnostech z
textu pro an1.
Řešení úlohy 7d od LLM Gemini včetně zadaného promptu.
Doporučuji ilustrovat text obrázkem, zde máte jeho
popis od LLM Gemini.
Učební text vytvořený ve spolupráci s LLM Gemini metodou zadávání úkolů a připomínek.
Druhá verze učebního textu obsahuje navíc kapitoly o kompaktních množinách a jejich vlastnostech, důkazy tvrzení o uzavřených množinách jsou přepracované.
překvapivě napsaný důkaz od llm Gemini, uvádím jen jako zajímavost
Definice lokálního extrému funkce dvou proměnných, nutná podmínka existence lokálního extrému, parciální funkce, parciální derivace.
Limita funkce dvou proměnných, definice, nutná podmínka existence limity (test limitami po cestách).
Derivace, diferencovatelnost, derivace podle vektoru, derivace ve směru, výpočet pomocí gradientu pro diferencovatelnou funkci.
Rovnice tečné roviny, souvislost s aditivitou zobrazení, které vektoru v přiřadí derivace podle vektoru v, papírový model demonstrující aditivitu.
Graf funkce dvou proměnných, geometrický význam parciálních derivací, derivace ve směru, derivace podle vektoru, gradientu.
Text o extrémech funkcí dvou proměnných, shrnutí důležitých faktů z metrických prostorů, definice lokálního a globálního extrému, spočítaný příklad (text vytvořený ve spolupráci s LLM Gemini, tentokrát to byla docela dřna, některé pasáže jsem raději dopsala sama).
Text o limitách funkcí dvou proměnných, obsahuje definici nutnou podmínku existence limity a vyřešené příklady.
Náčrt pomůcky na znázornění derivace funkce dvou proměnných.
Na papír narýsujte obrázek v horním obdélníku,
přitom délky a, b, delta a, delta b zvolte.
Spodního obdélníku si nevšímejte.
Odstřihněte část nad horní lomenou čárou a proužek na levém okraji použijte na slepení.
Úlohy na funkce dvou proměnných,
na cvičení 25. listopadu 2025
úloha 1.
Z úloh ke zkoušce
úlohy 9, 10
na cvičení 25. listopadu 2025.
Poznámka: Za obsah textů zodpovídá MŠ. Některé byly formulovány s pomocí velkého jazykového modelu (LLM) Gemini od společnosti Google.