Definice bodové a stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí.
Nutná podmínka stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí (existence bodové limity).
Nutná a postačující podmínka stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí (podmínka suprema).
Příklad stejnoměrně konvergentní posloupnosti funkcí.
Příklad bodově konvergentní posloupnosti funkcí, která nekonverguje stejnoměrně.
Věta o spojitosti limitní funkce i s důkazem.
Vysvětlete jak souvisí spojitost limitní funkce se záměnou limit, uveďte příklad.
Uveďte příklad posloupnosti funkcí f_n a bodu x_0 takových, že existují, ale nerovnají se:
derivace limitní funkce v bodě x_0,
bodová limita posloupnosti derivací f'_n v bodě x_0
(tedy ukažte, že obecně není korektní zaměnit pořadí limity a derivace).
Úlohy na zopakování grafů funkcí, konvergenci posloupností,
řešení jedné z úloh
Z úloh ke zkoušce úlohy 1, 2
definice a věty
Základní pojmy: mocninná řada, střed konvergence, člen řady, koeficient.
Obor konvergence a absolutní konvergence mocninné řady.
Věta o poloměru konvergence mocninné řady i s důkazem.
Vzorec pro výpočet poloměru konvergence i s odvozením.
Malý výlet do komplexních čísel, aneb, proč používáme pojmy poloměr konvergence a střed konvergence.
Věta o stejnoměrné konvergenci mocninné řady i s důkazem.
Věta o derivaci mocninné řady člen po členu (bez důkazu).
Použití věty na výpočet součtu řad.
Taylorovy řady.
Konkrétně Taylorovy řady funkcí sinus, kosinus, exponenciální funkce a zobecněná binomická věta, obory jejich konvergence.
Věta o součtu Tayorových řad sinu, kosinu a exponenciely (rovnají se původní funkci), hlavní myšlenka důkazu (použijeme Lagrangeův tvar zbytku Taylorova polynomu).
Příklad funkce f(x)=exp(-1/x^2), jejíž Taylorova řada konverguje, ale ne k funkci f.
Úlohy na zopakování geometrické řady, jejího součtu a kritérií konvergence číselných řad
Úlohy na Taylorovy řady
Z úloh ke zkoušce úlohy 3 až 5
definice a věty, obsahuje návod na úlohu 5 v písemce.
Text byl vytvořen ve spolupráci s LLM Gemini během asi dvou hodin, ve kterých jsem zadávala požadavky, co má text obsahovat a připomínky k použitým nástrojům.
Definice metrického prostoru. Příklady: metrika odvozená od normy, diskrétní metrický prostor.
Definice vnitřních a hraničních bodů množiny, trichotomie vnitřních bodů množiny, hraničních bodů množiny, vnitřních bodů doplňku množiny,
definice otevřené, uzavřené množiny,
vztah otevřených a uzavřených množin (doplněk otevřené množiny je uzavřená množina, doplněk uzavřené množiny je otevřená množina).
Posloupnosti v metrických prostorech, konvergentní posloupnosti, hromadný a izolovaný bod množiny, charakterizace uzavřených množin pomocí hromadných bodů.
Zobrazení mezi metrickými prostory, spojitost zobrazení.
Úlohy na metrické prostory
na cvičení 4. listopadu 2025:
úlohy 2e (důležitá), 2d, 4, 5
Z úloh ke zkoušce
úlohy 6 až 9
na cvičení 4. listopadu 2025.
K řešení úloh můžete použít věty z přednášky.
Dále můžete použít větu o limitě posloupnosti a nerovnostech z
textu pro an1.
Řešení úlohy 7d od LLM Gemini včetně zadaného promptu.
Doporučuji ilustrovat text obrázkem, zde máte jeho
popis od LLM Gemini.
Učební text vytvořený ve spolupráci s LLM Gemini metodou zadávání úkolů a připomínek.
Poznámka: Za obsah textů zodpovídá MŠ. Některé byly formulovány s pomocí velkého jazykového modelu (LLM) Gemini od společnosti Google.