Definice bodové a stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí.
Nutná podmínka stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí (existence bodové limity).
Nutná a postačující podmínka stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí (podmínka suprema).
Příklad stejnoměrně konvergentní posloupnosti funkcí.
Příklad bodově konvergentní posloupnosti funkcí, která nekonverguje stejnoměrně.
Věta o spojitosti limitní funkce i s důkazem.
Vysvětlete jak souvisí spojitost limitní funkce se záměnou limit, uveďte příklad.
Uveďte příklad posloupnosti funkcí f_n a bodu x_0 takových, že existují, ale nerovnají se:
derivace limitní funkce v bodě x_0,
bodová limita posloupnosti derivací f'_n v bodě x_0
(tedy ukažte, že obecně není korektní zaměnit pořadí limity a derivace).
Úlohy na zopakování grafů funkcí, konvergenci posloupností,
řešení jedné z úloh
Z úloh ke zkoušce úlohy 1, 2
definice a věty
Základní pojmy: mocninná řada, střed konvergence, člen řady, koeficient.
Obor konvergence a absolutní konvergence mocninné řady.
Věta o poloměru konvergence mocninné řady i s důkazem.
Vzorec pro výpočet poloměru konvergence i s odvozením.
Malý výlet do komplexních čísel, aneb, proč používáme pojmy poloměr konvergence a střed konvergence.
Věta o stejnoměrné konvergenci mocninné řady (bez důkazu).
Věta o derivaci mocninné řady člen po členu (bez důkazu).
Použití věty na výpočet součtu řad.
Taylorovy řady.
Konkrétně Taylorovy řady funkcí sinus, kosinus, exponenciální funkce a zobecněná binomická věta, obory jejich konvergence.
Věta o součtu Tayorových řad sinu, kosinu a exponenciely (rovnají se původní funkci), hlavní myšlenka důkazu (použijeme Lagrangeův tvar zbytku Taylorova polynomu).
Příklad funkce f(x)=exp(-1/x^2), jejíž Taylorova řada konverguje, ale ne k funkci f.
Úlohy na zopakování geometrické řady, jejího součtu a kritérií konvergence číselných řad
Úlohy na Taylorovy řady
Z úloh ke zkoušce úlohy 3 až 5
Definice metrického prostoru. Příklady: metrika odvozená od normy, diskrétní vektorový prostor.
Definice otevřené, uzavřené množiny.
Vnitřní a hraniční bod množiny.
Úlohy na metrické prostory
na cvičení 14. října 2025
Z úloh ke zkoušce úlohy 6, 7
na cvičení až 21. října 2025
Poznámka: Za obsah textů zodpovídá MŠ. Některé byly formulovány s pomocí velkého jazykového modelu Gemini od společnosti Google.