Informace k předmětu MA3
Program přednášek a cvičení
1. Přednáška 17. září 2024 - Obory pro dvojný integrál, konstrukce integrálu
Integrační obory v kartézských a polárních souřadnicích. Obrazec 1. a 2. druhu. Příklady. Dvojný integrál: geometrická motivace, konstrukce.
Přednáška
Integrální součty: obr
Cvičení: Obrazce 1. a 2. druhu. Obrazce v polárních souřadnicích
2. Přednáška 24. září 2024 - Dvojný integrál - výpočet
Základní vlastnosti dvojného integrálu. Věta o dvojnásobném integrálu. Substituce a výpočet v polárních souřadnicích.
Přednáška
Cvičení: Dvojný integrál - výpočet.
3. Přednáška 1. října 2024 - Aplikace dvojného integrálu, obory pro trojný integrál
Využití dvojného integrálu pro výpočet obsahu, hmotnosti, těžiště a momentu setrvačnosti rovinného obrazce. Integrační obory pro trojný integrál: kartézské, válcové a sférické souřadnice.
Přednáška
Cvičení: Dvojný integrál - příklady, aplikace.
4. Přednáška 8. října 2024 - Trojný integrál
Definice trojného integrálu, základní vlastnosti. Věta o trojnásobném integrálu, výpočet ve válcových a sférických souřadnicích. Aplikace.
Přednáška
Cvičení: Trojný integrál - příklady.
5. Přednáška 15. října 2023 - Křivkový integrál 1. druhu
Křivka, hladká křivka, po částech hladká křivka. Parametrické rovnice. Příklady. Křivkový integrál 1. druhu.
Definice, vlastnosti, geometrický význam, výpočet. Příklady.
Přednáška
Cvičení: Trojný integrál - příklady, aplikace.
6. Přednáška 22. října 2024 - Křivkový integrál 2. druhu
Potenciálové pole. Křivkový integrál 2. druhu. (Ne)závislost na integrační cestě. Greenova věta.
Přednáška
Cvičení: Křivkový integrál 1. druhu.
7. Přednáška 29. října 2024 - Plošné integrály
Plošný integrál 1. druhu. Plošný integrál 2. druhu.
Přednáška
Cvičení: 1. test.
8. Přednáška 5. listopadu 2024 - Integrální věty
Gaussova věta. Stokesova věta. Závěrečné shrnutí integrálního počtu.
Přednáška
Cvičení: Křivkový integrál 2. druhu.
9. Přednáška 12. listopadu 2024 - Systémy OLDR 1
Soustava diferenciálních rovnic, lineární soustava 1. řádu. Řešitelnost SOLDR 1. řádu. Řešení jako prostor, fundamentální systém, fundamentální matice.
Řešení SOLDR 1. řádu: vlastní čísla a vlastní vektory. Komplexní vlastní čísla. Příklady.
Přednáška
Cvičení: Plošné integrály.
10. Přednáška 19. listopadu 2024 - Systémy OLDR 2
Hledání řešení pro vícenásobná vlastní čísla, zobecněné vlastní vektory, exponenciála matice.
Výpočet partikulárního řešení podle speciálního tvaru pravu strany.
Cvičení: Integrální věty.
11. Přednáška 26. listopadu 2024 - Systémy OLDR 3
Řešení nehomogenní soustavy. Odhad tvaru partikulárního řešení. Příklady.
Přednáška
Cvičení: Soustavy OLDR.
12. Přednáška 3. prosince 2024 - Laplaceova transformace
Laplaceova transformace: definice, základní vlastnosti, slovník. Heavisidova schodovitá funkce a její transformace.
Přednáška
Cvičení: Soustavy OLDR.
13. Přednáška 10. prosince 2024 - Laplaceova transformace a lin. dif. rovnice.
Využití Laplaceovy tranformace k řešení obyčejných lineárních diferenciálních rovnic. Příklady.
Přednáška
Cvičení: 2. test
14. Přednáška 19. prosince 2023 - Závěrečné opakování, rezerva
Cvičení: Laplaceova transformace.
Učební texty a příklady
Doporučená literatura:
Mezník I., Karásek J., Miklíček J.: Matematika pro strojní fakulty 1. Praha : SNTL, 1992. (Dá se najít naskenovaná na internetu.)
Brzezina M., Veselý J.: Obyčejné (lineární) diferenciální rovnice a jejich systémy. Liberec : TUL, 2012.
Matematika online , VUT Brno.
Slovník Laplaceovy transformace
Tabulka integrálů
Příklady k procvičování (staré semestrální práce)
Příklady k procvičování (staré semestrální práce)
Příklady k procvičování (staré semestrální práce)
Online kurz
Videa jsou umístěna google disku a přístupná google účtům
1. týden - Obory pro dvojný integrál, konstrukce integrálu
Integrační obory v kartézských a polárních souřadnicích. Obrazec 1. a 2. druhu. Příklady. Dvojný integrál: geometrická motivace, konstrukce.
Loňská přednáška
Videa:
Integrační obory v kartézských souřadnicích, poznámky
Integrační obory v polárních souřadnicích, poznámky
Cvičení:
Příklady k procvičování 1 - určitý integrál
Příklady k procvičování 2 - obrazce, řešení
2. týden - Dvojný integrál - výpočet
Základní vlastnosti dvojného integrálu. Věta o dvojnásobném integrálu a výpočet integrálu. Substituce a výpočet v polárních souřadnicích.
Loňská přednáška
Videa:
Dvojný integrál, poznámky
Cvičení:
Záznam cvičení 7.10., poznámky
Příklady k samostatnému procvičování 3 - dvojný integrál, řešení
3. týden - Dvojný integrál - použití
Použití dvojného integrálu: obsah, hmotnost, souřadnice těžiště a momenty setrvačnosti rovinného obrazce. Obory pro trojný integrál: kartézské, válcové a sférické souřadnice.
Loňská přednáška
Videa:
Dvojný integrál-použití, poznámky
Obory pro trojný integrál, poznámky
Cvičení:
Záznam cvičení 14.10., poznámky
Příklady na cvičení 14.10. - použití dvojného integrálu
Příklady k samostatnému procvičování 4 - použití dvojného integrálu (lemniskátu můžete přeskočit), řešení
4. týden - Trojný integrál
Definice trojného integrálu, základní vlastnosti. Věta o trojnásobném integrálu, výpočet ve válcových a sférických souřadnicích. Aplikace.
Loňská přednáška
Videa:
Trojný integrál, poznámky
Trojný integrál ve válcových a sférických souřadnicích, poznámky
Trojný integrál - aplikace, poznámky
Cvičení:
Příklady na cvičení 21.10. - trojný integrál
Záznam cvičení 21.10., poznámky
Příklady k samostatnému procvičování 5-6 - trojný integrál (na dva týdny), řešení
5. týden - Trojný integrál
Výpočty s trojným integrálem.
Ve středu 28.10. je svátek a při standardní výuce by odpadla přednáška. Protože nechci, abychom se s přednáškou dostali nějak výrazně před cvičení, budeme se tím řídit a na tento týden máte zadané pouze příklady pro cvičení. Zadání naleznete v níže přiloženém souboru, řešení pak v následujícím videu. Důrazně doporučuji, abyste se tyto úlohy nejprve pokusili řešit sami!
Cvičení:
Příklady na cvičení 28.10. - trojný integrál
Videa:
Trojný integrál - řešení úloh, poznámky
6. týden - Křivkový integrál 1. druhu
Definice křivkového integrálu 1. druhu, základní vlastnosti. Výpočet, aplikace.
Loňská přednáška
Videa:
Křivky, poznámky
Křivkový integrál, poznámky
Cvičení:
Příklady na cvičení 4.11. - křivkový integrál
Záznam cvičení 4.11., poznámky
Příklady k samostatnému procvičování 7 - křivkový integrál (na dva týdny, je tam už i integrál 2. druhu, který je na programu příští týden), řešení
7. týden - Křivkový integrál 2. druhu
Definice křivkového integrálu 2. druhu, základní vlastnosti. Výpočet. Greenova věta.
Loňská přednáška
Videa:
Vektorové pole, poznámky
Křivkový integrál 2. druhu, poznámky
Cvičení:
Příklady na cvičení 11.11. - křivkový integrál 2. druhu
Záznam cvičení 11.11., poznámky
8. týden - Plošné integrály
Plošny integrál 1. druhu - stručné zavedení, výpočet. Obsah, hmotnost, těžiště a momenty setrvačnosti plochy. Plošný integrál 2. druhu - tok pole plochou.
Loňská přednáška
Videa:
Plošný integrál 1. druhu, poznámky
Plošný integrál 2. druhu, poznámky
Cvičení:
Příklady na cvičení 18.11. - plošné integrály
Záznam cvičení 18.11., poznámky
Příklady k samostatnému procvičování 9 - plošné integrály, řešení
9. týden - Integrální věty
Gaussova věta, Stokesova věta. Příklady.
Loňská přednáška
Videa:
Stokesova věta, poznámky
Gaussova věta, poznámky
Cvičení:
Příklady na cvičení 25.11. - integrální věty
Záznam cvičení 25.11., poznámky
Příklady k samostatnému procvičování 9
10. týden - Systémy OLDR 1
Soustava diferenciálních rovnic, lineární soustava 1. řádu. Řešitelnost SOLDR 1. řádu. Řešení jako prostor, fundamentální systém. Řešení SOLDR 1. řádu s konstantními koeficienty: vlastní čísla a vlastní vektory. Komplexní vlastní čísla. Příklady.
Loňská přednáška
Videa:
SOLDR1, poznámky
Cvičení:
Příklady na cvičení 2.12. - homogenní SOLDR
Záznam cvičení 2.12., poznámky
11. týden - Systémy OLDR 2
Exponenciála matice. Zobecněné vlastní vektory a řešení SOLDR.
Loňská přednáška
Videa:
SOLDR2, poznámky
Cvičení:
Příklady na cvičení 9.12. - homogenní SOLDR
Záznam cvičení 9.12., poznámky
12. týden - Systémy OLDR 3
Nehomogenní SOLDR (s konstantními koeficienty). Příklady
Loňská přednáška
Videa:
SOLDR3, poznámky
Cvičení:
Příklady na cvičení 16.12. - SOLDR
Záznam cvičení 16.12., poznámky
Příklady k samostatnému procvičování 10 - SOLDR, řešení
13. a 14. týden - Laplaceova transformace
Laplaceova transformace. Definice a základní vlastnosti. Přímá a zpětná Laplaceova transformace, slovník. Použití Laplaceovy transformace na řešení OLDR s konstantními koeficienty a jejich soustavy.
Loňská přednáška
Loňská přednáška
Videa:
Laplaceova transformace, poznámky
Laplaceova transformace a řešení OLDR, poznámky
Cvičení:
Příklady na cvičení leden 2021 - Laplaceova transformace
Záznam cvičení 6.1., poznámky
Záznam cvičení 13.1., poznámky
Zkouška
Zkouška je pouze písemná, doba trvání je cca 2 hodiny. V písemce se objeví 4 příklady z mat. analýzy (integrály, soustavy lin. dif. rovnic, Laplaceova transformace). K úspěšnému absolvování je potřeba získat alespoň polovinu bodů, bodový zisk pak rozhoduje o známce.
U písemky nemůžete používat sešit, skripta a elektronická zařízení - zejména tedy není povoleno využívat mobilní telefony nebo počítače. Můžete si však vypracovat tahák v podobě jedné stránky formátu A4 (jednostranně). Tahák musí být ručně psaný originál, který odevzdáte spolu s písemkou. Na (případný) další termín si tak budete muset vypracovat tahák nový. Nedodržení těchto pokynů bude bráno jako opisování a zkouška bude hodnocena známkou 4. Dále je povoleno používat kalkulačku (myslí se klasická obyčejná neprogramovatelná kalkulačka, nelze využít např. kalkulačku na mobilu apod.) a slovník Laplaceovy tranformace.
Ukázka starých zkouškových písemek: zkouška (ZS 17/18), zkouška (ZS 19/20), zkouška (ZS 19/20).