Poslední hodina semestru 13. 1. 2021
Odvodili jsme vzorce pro těžiště, na zkoušku není povinné -- sken
Odvodili jsme meze u integrálu ze včerejší hodiny a dopočítali jsme ho -- sken
Ukázali jsme, že substituce v integrálu funkce jedné proměnné je speciálním případem 2D substituce (pro substituci se zápornou derivací dojde dvakrát ke změně znaménka -- absolutní hodnotou a výměnou mezí) -- sken
Ukázali jsme, že na přednášce odvozený vzorec pro poloměr konvergence mocninné řady dá stejný výsledek pro mocninnou řadu a řadu zderivovanou člen po členu -- sken

Cvičení 12. 1. 2021
Probrali jsme úlohy na toto cvičení.
Odvozovali jsme vzorec pro polohu těžiště, na zítra si rozmyslete odvození vzorce pro těžiště na skenu.
Ukazovali jsme použití věty o derivaci složené funkce na výpočet extrémů.
Záznam ze cvičení je na sdíleném disku.
Dále jsme počítali integrál z e na (-x) na druhou, dopočítáme zítra, rozmyslete si závěr -- video sken

Přednáška 6. 1. 2021
Zformulovali jsme pravidlo o substituci ve dvojném integrálu pro případ přechodu od kartézských k polárním souřadnicím i v obecném případě. Řekli jsme, co je Jacobiova matice a Jacobián a vysvětlili jejich geometrický význam (intuitivně na osmé straně skenu z 16. 12.). Pro ilustraci jsme spočítali příklad na použití jiné substituce než od kartézských k polárním souřadnicím.
Řekli jsme souvislost s deformací obsahů na mapách -- viz thetruesize.com
Ve zbylém čase jsme si povídali o úloze s kartami a těžištěm.
video sken

Cvičení 5. 1. 2021
Úlohy, záznam a sken je na sdíleném disku.
Jan Mlčoušek prezentoval svůj "čtvrtý příklad", záznam i prezentaci najdete na sdíleném disku.
Dopočítali jsme příklad na objem průniku válce a koule -- video sken

Přednáška 16. 12. 2020
Probrali jsme dvojnásobný integrál a Fubiniovy větu, uvedli vzorec pro souřadnice těžiště rovinného obrazce, spočítali několik příkladů -- video sken

Cvičení 15. 12. 2020
Probrali jsme úlohy, záznam i sken je na sdíleném disku.
Prošli jsme slajdy o integrálech z minulé hodiny a navíc řekli něco o sigma aditivitě a jejích neintuitivních důsledcích -- video sken

Přednáška 9. 12. 2020
Vrátili jsme se k restům: dokázali jsme, že uvedené příklady (normované MP, diskrétní MP) jsou opravdu MP (tedy metrika splňuje požadované vlastnosti). Spočítali jsme příklad na Lagrangeovy multiplikátory. Uvédli jsme příklad funkce s nezáměnnými smíšenými parciálními derivacemi -- video sken

Mluvili jsme o obsahu a objemu, o dvojném integrálu a o řezech množiny -- sken

Cvičení 8. 12. 2020
Probrali jsme úlohy na metrické prostory. Záznam je na sdíleném disku.
Definovali jsme další pojmy: izolovaný a hromadný bod množiny; diskrétní metrický prostor. Na diskrétním MP jsme procvičili probrané pojmy metrických prostorů -- video sken

Přednáška 2. 12. 2020
Probírali jsme metrické prostory -- video sken

Cvičení 1. 12. 2020
Z úloh na extrémy jsme probrali první až šestou, ze sedmé náčrtek elipsy a vrstevnic a vysvětlili jsme geometrický význam metody lagrangeových multiplikítorů. Video najdete na sdíleném disku.

Přednáška 25. 11. 2020
Probírali jsme Taylorův polynom a lokální extrémy -- video sken

24. 11. 2020
Z minulého týdne jsme dokončili příklad 3b a vrátili se ke kontrolním otázkám. Napsali jsme derivace podle vektorů z obrázku z minulého týdne a porovnali je s pravými stranami vztahů (7) z textu o derivacích.
Video je na sdíleném disku, sken zde i tam.

Navázali jsme přednáškou -- probírali jsme extrémy funkce více proměnných -- video sken

Cvičení 18. 11. 2020
Probírali jsme úlohy a kontrolní otázky na spojitost, limity, derivace.
Nalezili jsme souřadnice vektorů na obrázku.
Video a sken jsou na sdíleném disku.

Přednáška 11. 11. 2020
Dokončili jsme příklad prof. Zajíčka.
Z textu o derivacích jsme probrali definici derivace, větu o derivaci a spojitosti a větu o existenci silné derivace i s důkazem. Dále příklad funkce, která má v bodě slabou derivaci a není v tomto bodě spojitá. Bez důkazu jsme se zmínili o větě o tvaru silné derivace a o větě o silné a slabé derivaci (důkazy nejsou složité, ale tlačí nás čas).
Dokončili jsme geometrický význam gradientu.
Vyložili jsme, co jsou polární souřadnice a jako úvod k derivaci složené funkce jsme uvedli úkol na příští týden.
video sken

Cvičení 10. 11. 2020
Probírali jsme úlohy na spojité rozšíření a pokračovali jsme dalšími příklady: Zopakovali jsme větu o sevřené funkci, odvodili jsme z ní větu o limitě součinu funkce mající nulovou limitu s omezenou funkcí. Uvedli jsme příklad funkce, která má stejnou limitu po všech přímkách, ale jinou limitu po parabole (a tedy nemá limitu). Video je na sdíleném disku, sken zde i na disku.

Probrali jsme příklad 2.22 na str. 61 učebnice prof. Zajíčka jako příklad na odhad chyby výpočtu pomocí derivace -- video sken

Přednáška 4. 11. 2020
Rovnice přímky, normálový vektor, tečna k izokřivce, gradient video sken
Spojitost a limita funkce více proměnných video sken

Cvičení 3. 11. 2020
Věnovali jsme se úlohám na izokřivky. Záznam a sken ze záznamu jsou na sdíleném disku.
Zopakovali jsme derivaci podle vektoru a řekli, co je slabá derivace, text o derivacích, video, sken.

Přednáška 28. 10. 2020
Česká republika slaví svátek. Ať jí zdraví slouží.

Cvičení 27. 10. 2020
Věnovali jsme se příkladům z minulého týdne a úlohám ze závěru textu o parciálních derivacích.
Video i sken z hodiny jsou na sdíleném disku.

Přednáška 21. 10. 2020
Probírali jsme derivaci podle vektoru, opakovali jsme geometrický význam derivace.
Text o parciálních derivacích
video sken

Cvičení 20. 10. 2020
Dokončili jsme úlohy na řady z minulého týdne, video ke cvičení je na sdíleném disku.
Věnovali jsme se úlohám 1, 4 na parciální derivace, video sken

Přednáška 14. 10. 2020
Probírali jsme Taylorovu řadu součtu mocninné řady a porovnali výsledek se součtem Taylorovy řady. video sken
Naznačili jsme ještě jednou, jak počítat příklady 6, 8, 10, které jsme včera neprobrali. video sken
Pustili jsme se do funkcí dvou proměnných, ukážali si několik grafů na WolframuAlpha, probrali parciální funkce, parciální derivace, tečny, rovinu z tečen (někdy bude smysl ji nazývat tečnou rovinou, ale ne vždy). video sken

Cvičení 13. 10. 2020
Zadání příkladů, probrali jsme příklady 1, 2, 4, 5, 7, 9. K příkladu 4 jsme si pustili video o poloměru konvergence mocninné řady (viz přednáška 30. 9.).
Video ke cvičení je na sdíleném disku.

Prohlédli jsme si video o m-testu (viz přednáška 7. 10.), kde je náznak důkazu, že derivovat mocninnou řadu člen po členu je korektní operace. Tuto vlastnost jsme pak použili k odvození Taylorovy řady ze součtu mocninné řady (výsledkem je, že se shoduje s původní řadou a odtud plyne, že příklad 9 lze počítat stejně jako příklad 5), video a sken k Taylorově řadě.

Přednáška 7. 10. 2020
Dokončili jsme výpočet derivace funkce zobrazující x na exp(-1/x^2) v bodě nula. Konstatovali jsme, že i derivace vyšších řádů jsou v nule nulové. Závěr: tato funkce se nerovná součtu své Taylorovy řady v bodě nula na žádném okolí nuly.
video sken

K následující látce je video na sdíleném disku. Pokud to někdo umíte, smažte z něj prosím vše po čtvrté minutě (omylem jsem nechala puštěné nahrávání). Video obsahuje komentář k následujícím předtočeným videům.
Animace grafů funkcí sin^(2k)x na www.desmos.com ukazuje příklad posloupnosti spojitých funkcí s nespojitou limitou. Na předtočeném videu (sken) vysvětlujeme, že nespojitost souvisí se závislostí výsledku dvojné limity na pořadí limit.
Ukázali jsme další příklad: x^k pro x jdoucí k jedné zleva a pro k jdoucí k nekonečnu.
Na předtočeném videu (sken) napíšeme definici stejnoměrně konvergentní posloupnosti funkcí a vysvětlíme ji na grafu. Pomůžeme si animací na desmosu. Zformulujeme větu o spojitosti limity stejnoměrně konvergentní posloupnosti spojitých funkcí a řekneme hlavní myšlenku jejího důkazu.

Na dalším předtočeném videu (sken) ukážeme, že pravidlo derivování nekonečné řady člen po členu odpovídá nezávislosti hodnoty dvojné limity na pořadí limit (a z výše uvedených příkladů víme, že hodnota dvojné limity může záviset na pořadí limit).

Na příště:
Na dalším předtočeném videu (na konci píšu mimo záběr, podívejte se na sken) zformuluteme M-test pro stejnoměrnou konvergenci řad a ukážeme, jak funguje pro mocninné řady. Budeme konstatovat, že pomocí M-testu je možné dokázat spojitost součtu mocninné řady a pravidlo pro derivaci mocninné řady člen po členu.
Vysvětlíme, jak lze použít pravidlo pro derivování mocninné řady člen po členu pro nalezení Taylorovy řady některých funkcí.

Cvičení 6. 10. 2020
Zadání, sken.

Přednáška 30. 9. 2020
Taylorova řada: video 1, sken 1, video 2, sken 2,
Limitní podílové kritérium: video, sken.
Použití limitního podílového kritéria na určení oboru konvergence Taylorovy řady: video, sken.
Funkce, které se rovnají součtu své Taylorovy řady: video, sken.
Funkce, pro niž to neplatí (dokončíme příště): video, sken.
Další dvě videa shlédněte doma:
Mocninná řada: video, sken.
Poloměr konvergence mocninné řady: video, sken.

Cvičení 29. 9. 2020
Příklady na řady funkcí.