Cvičení 11. 1. 2022
Věnovali jsme se úlohám ke zkoušce.

Přednáška 6. ledna 2022
Probírali jsme důkazy: o spojitosti a limtě, o monotonii a derivaci, o monotonii na "rozděleném intervalu", o derivaci a spojitosti.

Cvičení 4. 1. 2022
Věnovali jsme se úlohám ke zkoušce.

Přednáška 16. prosince 2021
Probírali jsme polynomy, jejich kořeny, racionální funkce, parciální zlomky a rozklad racionální funkce na součet polynomu a parciálních zlomků.

Cvičení 14. 12. 2021
Věnovali jsme se úlohám na limity, vzory, obrazy.

Přednáška 9. prosince 2021
Spočítali jsme příklady na nevlastní limity.
Probrali jsme větu o nabývání mezihodnot (str. 5,6 skenu z 2. 11). Větu jsme použili na určení definičního oboru odmocniny (strana 7 téhož skenu).
Zformulovali jsme a dokázali větu o obrazu intervalu v monotonní spojité funkci.

Video k nevlastním limitám -- video (77 minut), sken.

Cvičení 7. 12. 2021
Věnovali jsme se úlohám na obraz a vzor intervalu a obor hodnot.

Přednáška 2. prosince 2021
Probírali jsme posloupnosti, řekli, co je konvergentní posloupnost, co je limita posloupnosti, co je Cauchyovská posloupnost. Ukázali jsme, že každá konvergentní posloupnost je Cauchyovská a konstatovali jsme, že na reálných číslech platí i opačná imlikace, tedy každá Cauchyovská posloupnost je konvergentní. Na množině racionálních čísel opačná implikace neplatí, uvedli jsme příklad.
Definovali jsme monotonní a omezenou posloupnost a ukázali jsme, že každá omezená monotonní posloupnost je konvergentní.

Video z loňského roku -- video (77 minut), sken.

Cvičení 30. 11. 2021
Věnovali jsme se úlohám na obraz a vzor intervalu.

Přednáška 24. listopadu 2021
Řekli jsme, co je Taylorův polynom (funkce f v bodě a stupně n), co je zbytek Taylorova polynomu. Zopakovali jsme pojmy: aproximovaná hodnota, aproximující hodnota, chyba aproximace. Ukázali jsme na funkci sinus, čím se liší lokální a globální aproximace -- str. 13 [MŠ4+1].
Řekli jsme, co je vzor intervalu a jak se počítá.
Počítali jsme limity v nekonečnu -- nejdříve polynomů, pak součtu odmocnin (lineárních kombinací odmocnin), podílů polynomů a lineárních kombinací odmocnin.

Videa z loňského roku:
Taylorův polynomv -- video1 (32 minut), sken1, video2 (od začátku do minuty 48), sken2.
Limity v nekonečnu -- video (od minuty 48, délka 36 minut), sken.

Cvičení 23. 11. 2021
Věnovali jsme se úlohám na nerovnice a lineární aproximaci.

Přednáška 18. listopadu 2021
Cíle přednášky: Formulace Weierstrassovy věty o extrémech spojité funkce na uzavřeném omezeném intervalu. Formulace a důkaz Rolleovy a Lagrangeovy věty o střední hodnotě. Seznámení s pojmem aproximace a výklad rovnice tečny jako lokální lineární aproximace funkce.
Umocňování nerovnice -- za jakých podmínek je ekvivalentní operací a jak řešit nerovnici, když nejsou tyto podmínky splněny.

Videa z loňského roku:
Weierstrassova věta a věty o střední hodnotě -- viz přednáška 11. listopadu 2021.
Aproximaci lineární funkcí jsem letos (na rozdíl od loňska) odpřednášela včetně úvah podobných příkladu 5.2.10 z [JV]. V tématu budeme pokračovat příště tématem Taylorova polynomu a uvedeme video z loňska.
Řešení nerovnic -- video (9 minut), sken.

Cvičení 16. 11. 2021
Věnovali jsme se úlohám na extrémy, monotonii a derivaci.

Přednáška 11. listopadu 2021
Cíle přednášky: Vyložit geometrický význam nulové, kladné, záporné derivace. K tomu pomůže výklad souvislostí rovnice přímky s přímou úměrou (viz 5.1 v [MŠ4+1]).
Definovat lokální extrémy a monotonii funkce. Vyložit souvislost s derivacemi -- zformulovat příslušné věty a větu o derivaci a extrémech dokázat (větu o derivaci a monotonii dokážeme příště).
Definovat obraz intervalu ve funkci, vysvětlit na příkladech. Formulovat a dokázat větu o nabývání mezihodnot (na stranách 5 až 7 skenu z 2. 11. dole)

Videa z loňského roku:
Definice obrazu množiny, lokálních extrémů, formulace věty o derivaci a lokálních extrémech, formulace Weierstrassovy věty, formulace a důkaz věty o obrazu uzavřeného intervalu ve spojité funkci, definice monotonie funkce, formulace vět o monotonii a derivaci, vysvětlení na úlohách -- video (86 minut), sken
Shrnutí úlohy ze cvičení, definice vzoru množiny, vysvětlení na příkladech. Důkaz věty o derivaci a extrémech. Formulace Rolleovy věty i s důkazem. Formulace Lagrangeovy věty i s důkazem. Lemma o monotonní funkci i s důkazem. Důkaz věty o monotonii a derivaci. -- video (79 minut), sken
Dokončení důkazu věty o monotonii a derivaci -- video (13 minut), sken

Cvičení 9. 11. 2021
Věnovali jsme se úlohám na derivace -- pro začátečníky, pro pokročilé.
Graf k úloze 7 pro pokročilé.

Přednáška 4. listopadu 2021
Cíle přednášky: Probrat derivace. Především geometrický a fyzikální význam, souvislost s nekonečně malými veličinami -- spojitost znamená, že "malá" změna proměnné způsobí "malou" změnu funkční hodnoty, derivace udává koeficient úměrnosti těchto změn -- odtud odvodíme rovnici tečny ke grafu funkce. Uvést a dokázat větu o derivaci a spojitosti. Uvést vzorce pro derivování a některé z nich odvodit. Vysvětlit použití vzorců při výpočtech.
definice, vztahy -- sken

video o derivacích z Khanovy akademie (9 minut)
video (87 minut), sken

Odvodili jsme (x^a)'=a x^(a-1) pro a přirozené (přitom jsme vysvětlili důkaz matematickou indukcí), 1/přirozené. Odvodili jsme pravidlo pro derivaci součtu a součinu, pravidlo pro derivaci inverzní funkce. Dokázali jsme, že z konečnosti derivace plyne spojitost. Konstatovali jsme, že derivace je lokální vlastnost a vysvětlili její použití na derivaci funkce s absolutní hodnotou.

Studentům doporučuji pročíst první kapitolu a dodatek z [MŠ4+1]. V první kapitole jsou shrnuty základní pojmy celého semestru z důrazem na derivaci, jako jeden ze stěžejních. Dodatek pojednává o rovnici přímky, ukazuje na souvislosti s geometrií a přímou úměrností. Pomůže vám zapamatovat si rovnici tečny ke grafu a pochopit geometrický smysl derivace. Doporučuji přečíst první část dodatku a možná začátek druhé. Se třetí částí zatím nejsem spokojena a chystám se ji někdy přepsat.

Cvičení -- přednáška 2. 11. 2021
Studenti měli možnost se vrátit ke kterýmkoliv příkladům z minula, předminula ..., případně i k probrané teorii. Nevyužili toho, nabídka platí na kterékoliv další cvičení.

Věnovali jsme se racionálním a reálným číslům v rozsahu videa (23 minut), sken.

Probrali jsme supremum, vlastnost (13 z JV) suprema, důkaz věty o kořeni spojité funkce -- video (32 minut), sken.
V důkazu se používá metoda půlení intervalu -- video (4 minuty), xls soubor z videa.

Vloni jsem nechala studenty sepsat postup řešení nerovnic, video obsahuje moje shrnutí -- video (1 minuta).
Na větě o kořeni se dá ilustrovat práce matematika: formulace tvrzení, jejich důkaz a pak použití na řešení úloh. Povídala jsem o tom na cvičení 19. 10., studentem natočené video je na sdíleném disku. Napsala jsem další sken a chystám se k němu natočit video. Poslední tři strany skenu pojednávají o větě o nabývání mezihodnot, na kterou se chystáme 11. listopadu. Důležitým důsledkem je existence odmocniny (a jiných funkcí).

Cvičení 26. října 2021
Věnovali jsme se úlohám na trojúhelníkovou nerovnost, limity, spojitost. U úloh 3, 3a, 3b počítáme limitu vnitřních funkcí (tedy bez "velkých" odmocnin a "velké" čtvrté mocniny) a výsledek pak dosaďíme do vnější funkce (tedy zde odmocniny, případně čtvrté mocniny). Používáme zde větu o spojitosti složené funkce, kterou jsme na přednášce nestihli.

K úloze 2, k ekvivalenci, implikacím a obecně k důkazům, konkrétně k důkazu lokální omezenosti spojité funkce -- video (39 minut), sken.

Přednáška 21. října 2021
Cíle přednášky: dosud jsme spojitost používali k výpočtu limit a k řešení nerovnic, ale o žádné funkci jsme zatím neukázali, že je spojitá. Teď se to chystáme napravit. Začneme důkazem spojitosti identické funkce (f(x)=x), konstantní funkce (f(x)=konstanta) a převrácené hodnoty (f(x)=1/x) přímo z definice. Věta (tak nazýváme v matematice tvrzení, která dokazujeme) o spojitosti a aritmetických operacích nám pak dá spojitost polynomů a racionálních funkcí. Věta o spojitosti složené funkce pak spojitost dalších funkcí. Nástrojem v důkazech je trojúhelníková nerovnost. V závěru přednášky jsme uvedli souvislost limity a spojitosti -- limitu spojité funkce lze spočítat dosazením; limitu nespojité funkce nikoliv.

Videa a skeny k loňské přednášce:
Jednostranná spojitost, spojitost na intervalu, spojitost konstantní funkce, spojitost identity -- video (10 minut), sken.
Trojúhelníková nerovnost -- video (7 minut), sken.
Věta o spojitosti a aritmetických operacích -- video (13 minut) sken před videem, sken po videu.
Lokální omezenost spojité funkce (potřebujeme k důkazu spojitosti součinu) a závěr důkazu o spojitosti součinu -- video (5 minut), sken.
Lokální omezenost převrácené hodiny (potřebovali jsme k důkazu spojitosti podílu, letos jsme místo toho ukázali spojitost převrácené hodnoty a v plánu bylo použití spojitosti složené funkce) -- video (4 minuty), sken.
Důkaz věty o spojitosti podílu video (2 minuty), sken.
Spojitost odmocniny a složené funkce -- video (26 minut), sken.
Souvislost spojitosti a limity (aneb, kdy lze spočítat limitu dosazením), lokálnost těchto dvou pojmů -- video (4 minuty), sken.
Spojitost odmocniny (trochu jiný, než ten výše) -- video (9 minut), sken.

Cvičení 19. října 2021
Věnovali jsme se úlohám na limity a spojitost.

Přednáška 14. října 2021
Cíle přednášky: Vyložit pojem funkce spojité v bodě. Definovat vlastní (tj. konečnou) limitu ve vlastním bodě (tedy ne v nekonečnu) a ukázat souvislost se spojitostí. Vyložit větu o kořeni spojité funkce a ukázat její použití na řešení nerovnic.

Defince spojitosti funkce v bodě -- video (21 minut), sken, prezentace o spojitosti.
Starší zkoušková písemka -- zajímají nás úlohy 2, 3.
K úloze 2 -- video (18 minut), sken.
K úloze 3 -- video (16 minut), sken.
Limitu spojité funkce počítáme dosazením, v závěru příklad limity nespojité funkce (funkce sgn^2 má v nule limitu rovnu jedné, ale funkční hodnotu rovnu nule) -- video (17 minut), sken.
Kontrolní otázky k limitám a spojitosti.
Vysvětlení pojmů rozšířená a zúžená funkce (potřebujete k pojmu spojité rozšíření). V závěru vysvětlujeme psaní definic pomocí matematických symbolů (zde pomocí nich zapisujeme podmnožinu, zúženou funkci) -- video (7 minut), sken.
Věta o kořeni spojité funkce a její použití na řešení nerovnic -- video (17 minut), sken.

Cvičení 12. října 2021
Probírali jsme řešení úloh na 5. 10.
Video ukazuje, jak své výpočty můžete zkontrolovat grafem, který si necháte vykreslit. Další stupeň bude, že graf nakreslíte sami na základě svého výpočtu.
Dále jsme probírali řešení úloh na 12. 10..

Přednáška 7. října 2021
Cíle přednášky: Vysvětlit, co je limita, zatím bez přesné definice. K vysvětlení použít podíly mnohočlenů a podíly obsahující odmocniny.
Zopakovat vlastnosti operací a relace uspořádání na množině reálných čísel.

Podíly polynomů (tj. mnohočlenů) nazýváme racionálními funkcemi. V kořenech jmenovatele nejsou tyto funkce definovány, nás zajímá, jaký průběh má funkce v jejich okolí a jak se tento průběh projeví na grafu -- video (17 minut), sken.
Stejná úloha jako nahoře, ale výraz obsahuje kromě mnohočlenů admocninu/-y -- video1 (4 minuty), video2 (9 minut), sken.
Další příklad z odmocninou -- video (12 minut), sken.
Zaokrouhlovací funkce jako příklad nespojité funkce, výklad jednostranných limit -- video (3 minuty), sken.
Souhrnné kontrolní otázky.

Co to jsou reálná čísla -- množina s operacemi sčítání a násobení a srelací uspořádání, které splňují (1) až (13) na str. 20 -- 25 z [JV]. O použití vlastností (1) až (12) je pojednáno v kapitole 2.2 v [MŠ4+1].

Přednáška 30. září 2021
Na začátku hodiny probereme organizační záležitosti, především podmínky pro udělení zápočtu (středoškolské testy, aktivita na cvičeních).

Cíle přednášky: Procvičit práci s grafy funkcí, zopakovat základní pojmy a především vidět souvislosti mezi nimi. Učit se vyjadřovat běžným i matematickým jazykem, učit se používat matematické symboly a rozumět jim. Vysvětlit limity funkcí na konkrétních funkcích a jejich grafech (zatím bez přesné definice).

Před přednáškou doporučujeme shlédnout následující videa:
WolframAlpha, grafy, rovnice, nerovnice (20 minut): Představujeme WolframAlpha, nástroj na vykreslení grafu funkcí. Ukazujeme, jak lze graf funkce použít při řešení rovnic a nerovnic. K výkladu jsme použili i grafy reálných dat o nakažených kovidem z loňského září.
Funkce, grafy, základní pojmy, souvislosti (12 minut): Probíráme vztahy mezi pojmy zobrazení, vzor, obraz, funkce, definiční obor, obor hodnot, prostá funkce, inverzní funkce. Vysvětlujeme je na příkladě z [MŠ4+1], 4.1.1, str. 46.

Na přednášce jsme shlédli druhé video (o funkcích, grafech, základních pojmech, souvislostech) a věnovali jsme se dotazníku k videu.
Probrali jsme 4.2.2 z [MŠ4+1] včetně limit v nekonečnech (strana 50, 51).
Dále jsme ze 4.3 probrali limity funkce v (4.6) (strana 52, 53).

K doplnění přednášky jsou další videa:
Dotaz (5 minut):, co je kořen rovnice, kořen funkce, jak se najdou na grafu.
Příklad 4.2.1 z [MŠ4+1] (16 minut), dotazy k příkladu: (7 minut), (4 minuty).